5.5 波涛汹涌

　　前面曾经提到过，高斯函数的奇特之处在于它们有一个共同本证函数系exp(ikx)

　　实际上作为高斯函数共同本证函数系的exp(ikx)，并不是高斯函数特例独有的性质。

　　exp(ikx)，常常也记作exp(ipr)、exp(ipx)、exp(ipq)、exp(iEt)、exp(ist)等等。即自然数e的ipr次方，其中i是复数符号、p和r是二元变量。

   exp(ipr)既表示平面波、又表示简谐振动；既是量子力学本证态，又是傅立叶变换的基函数。稍加留意，我们就能发现exp(ipr)在量子力学教材里 ，无所不在、无处不在、铺天盖地、波涛汹涌

　　下面，信手拈来几个例子：

　　1、exp(ipr) 是单色平面波的表达式：

   取固定频率p0，任意位置x为变量

      2、声波

   3、德布罗意波和光波

  4、exp(ipr) 是脉冲函数的本证函数：

   5、exp(ipr) 是动量算符的本证函数：

　6、exp(ipr) 是位置算符的本证函数：

    7、exp(ipr) 是动量和位置的内积的本证函数：

　8、exp(ipr) 是薛定谔波函数的本证函数：

所以：

还有：

　9、exp(ipr) 是含时薛定谔方程波函数的时间函数：

  10、三维空间薛定谔波函数的形式

    11、定态

   12、势垒（入射波、反射波、透射波）

　13、exp(ipr) 是新旧标准右矢的联系：

    14、哈密顿算符的形式

    15、光波和球面波

    16、电场和磁场

    17、电磁张量形式

18、李群和李代数关系：

19、规范场变换：

20、内禀变换：

21、洛伦兹群：

22、U(2)群：

 23、SU(2)群生成元：

    exp(ipr)不仅在量子力学领域瞅着眼熟，在信号系统、数论、组合数学、概率、统计、密码学、声学、光学等领域，甚至群论，都有它广泛的身影，如浩瀚星空繁星闪亮！

   如果进一步探讨波粒二象性的现象产生的根源，我们可以发现，波是更本质的更基础的，波具有普遍性意义，所有的量子态都可以通过exp(ipr)本征函数分解。

   而粒子只是一种独特收敛现象，是一种波群在其对偶域收敛性质的体现，因为任何物理量都不可能既在时域表现为粒子同时又在频率表现为粒子，所以任何有限粒子都必然能通过对偶域分解为波exp(ipr)，从这个意义上看粒子只是一种特殊形式波而已。

   由于傅立叶变换的广泛意义，显而易见“波粒二象性”并不是物理学领域的专有特征，事实上这是方式四海而皆准的自然普遍属性。

   基于此，可以合理推测，在每一条有效“信息点”背后，在其对偶域，都必然有一群无穷无尽的基波exp(ipr)

   这可能是宇宙最大的秘密了吧！