3.5 外空黑洞阿列夫

   兜了一大圈，下面我们再来捋一捋哥德尔“不完备性定理”关键点：

   首先，靠一条一条公理补充列举的方法，建立和添加出来的公理体系必然是可列的。再次提醒童鞋们，可列集的无穷大只能达到‘阿列夫0’

   另一方面，包容万象的命题体系却包含有‘诡论命题'，‘诡论命题'对应于无理数，而包含无理数的实数却有‘阿列夫1’之多，远远大于‘阿列夫0’所能阐述的范围。

   所以，当哥德尔找到一个【说谎者诡论】例子，证明‘阿列夫0’维度的形式逻辑公理系统无法判定时，希尔伯特立即意识到康托尔连续统理论，立即意识到连续统理论中多不可数的无理数，立即意识到和无理数一样，多得‘多不可数’的不可判定命题。

   平明拂剑朝天去，薄暮垂鞭醉酒归

   恨苍天

   2014年6月8日，英国《每日电讯报》报道，一台由俄罗斯人开发的超级计算机通过了标志性的图灵测试。这台卓越的超级计算机模拟人类的思维，让33%的考官认为他们是在与一个13岁的男孩儿对话，计算机通过自己的智慧成功蒙骗了人类。这一划时代事件，正逢计算机之父图灵先生去世60周年纪念，被认为是人工智能领域里程碑式的突破。

   一台冰冷的机器，超越人类的智慧？？

   骇人听闻，如果这是真的，可能有一天，科幻电影将成真------机器人将替代人类成为世界的主人。

   这可能么？数不清的一串串大问号。

   之所以学术派对当代计算机的智能严重怀疑，是因为如今所有的计算机在逻辑上是完全一样的，都叫做“图灵机”，而图灵机是基于形式逻辑的‘阿列夫0’维度空间的。

   这里，不得不提，那个把数理逻辑推向世界之巅的人———阿兰·图灵，英国著名数学家、计算机科学之父、人工智能之父。

   1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文《论可计算数及其在判定问题上的应用》。在这篇论文中，图灵给“可计算性”下了一个严格的数学定义，提出著名的“图灵机”的设想。图灵机不是一种具体的机器，而是一种数理逻辑的思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算装置，用来计算所有能想象得到的可计算函数。 基本思想是用机器来模拟人们用纸笔进行数学自动机械化运算（所谓机械化就是 可列的）的过程。设计解决某一问题所需要的固有套路，按这个步骤走下去，就可以解决某一特定的问题，这种观念是具有革命性意义的。

   图灵是伟大的，之所以主流媒体对图灵的宣传较少，因为他在世俗羞辱下最终选择咬食剧毒苹果自杀（基督教认为自杀不光彩），数年以来他都被视为罪恶的人。直到2013年12月24日英国司法部长克里斯才宣布：英国女王伊莉莎白二世赦免上世纪50年代因同性恋行为被定罪的阿兰·图灵。

   当我们每天用电脑、平板、手机，或办公或娱乐或聊天或游荡的时候，应该感谢图灵先生，向这个伟大的灵魂致敬！

   1966年，美国计算机协会设立图灵奖，被喻为计算机界的诺贝尔奖。它是以图灵先生的名字命名的，是对图灵伟大贡献的肯定。传言iphone的那个被咬了一口的烂苹果商标，就是为了纪念他。

   今天，超级计算机、小型计算机、服务器、PC机、平板、智能手机等等“图灵机”已经遍布我们身边，影响了我们日常生活的方方面面。但是，尽管“图灵机”攻城掠地战绩显赫，却并不能掩盖“图灵机”的严重局限性。

   现在大家都知道，哥德尔不完备性定理证明了“图灵机”的这种逻辑局限性。但是，一个世纪以前，‘阿列夫0’维度的局限性却鲜有人知。除了独孤求败的康托尔、一剑封喉的哥德尔，第三个意识到这种局限性的人应该就是希尔伯特了。

   因为，对于无穷大的诡异，希尔伯特很早就注意到了。天苍苍、野茫茫，风吹草低见牛羊

   曾经，一个23岁年轻人，就是以一篇关于不变量理论的论文跻身数学界。他的证明方法在当时相当具有争议性。

   在这篇论文中，他使用了‘非构造性’的证明，也就是说他只能证明某个数学对象的存在性，却无法将它具体指出。比如说，一个报告厅有100个座位，有99位听众进去了，我可以断定一定有一个空座位，这就是一种非构造性证明。但我没办法将具体的空座位指出来。写这个论文的年轻人就是日后统领江湖的希尔伯特大侠。

   利用这一独特的非构造性的证明，大侠构建了一个关于无穷大的独特的“希尔伯特旅馆”：

   【一天夜里，已经很晚了，一对年老的夫妻走进一家旅馆，他们想要一个房间。前台侍者回答说："对不起，我们旅馆已经客满了，一间空房也没有剩下。"看着这对老人疲惫的神情，侍者又说："但是，让我来想想办法……" 这个好心的侍者开始动手为这对老人解决房间问题：他叫醒旅馆里已经睡下的房客，请他们换一换地方：1号房的客人换到2号房间，2号房的客人换到3号房间……以此类推，直至每一位房客都从自己的房间搬到下一个房间。这时奇迹出现了：1号房间竟然空了出来。侍者高兴地将这对老年夫妇安排了进去。没有增加房间，没有减少客人，两位老人来到时所有的房间都住满了客人--但是仅仅通过让每一位客人挪到下一个房间，结果第一个房间就空了出来，这是为什么呢？

   原来，两位老人进的是数学上著名的希尔伯特旅馆———它被认为是一个有着无穷多房间的旅馆。

   这个故事是伟大的数学家大卫·希尔伯特所讲述，他借此引出了数学上神奇诡异的"可列无穷大"的概念。】

   很显然，希尔伯特旅馆的可列无穷大即是‘阿列夫0’

   亲手创建‘可列’无穷大军团的希尔伯特，突然看到哥德尔论文中的把说谎者诡论和‘不可列’的无理数，从而联系到一起时，可以想见他是多么的震惊，惶恐不安！

   希尔伯特当然不是害怕一个小崽提出的一个小小诡论，他恐惧，是见到了那妖物背后的‘不可列’。

   所以，希尔伯特一招之后就放下武器背道投敌了。可以想见，这个曾经叱咤风云的老人，当时是多么地惶恐无奈，老泪纵横。伙计们，不是老夫不努力，只怪敌人太强大、太强大、太强大........

   所以，以希尔伯特的伟大，仅仅遇到一个不可判定命题，就彻底放弃了反抗，因为这一个例外后面跟着‘多不可数’。假如我们把人类普通语言逻辑看作一个空间，那么诡论则是来自外空的异形。而且这类我们地球人眼中的必有歧义的诡论，甚至是‘多不可数’的，它们的军团远远大于‘可列的’阿列夫0 ，如巨大的黑洞超越了人类的正常思维、远远超越了人类习以为常的形式语言逻辑。

   也就是说，形式数理逻辑公理体系之所以不完备，本质上是因为其维度最多是‘可列的’，而宇宙逻辑的维度是‘不可列’的。宇宙逻辑的空间维度远远大于‘可列的’语义系统，所以人类惯常的语义系统无从解答广阔空间的哈如繁星的‘不可列’问题。

   阿列夫0比阿列夫1小，阿列夫0对于阿列夫1不足，所以阿列夫0维度坐标轴对于阿列夫1维度空间不完备。

   这，就是“不完备性定理”的真谛。

   不完备定理的‘不完备’本质是参照系维度的不完备！

   大道至简！

   终于攻下一个阿列夫山头，烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。

   不过战斗还将继续，如果人类的思维永远局限于阿列夫0维，那么我们可能真的要完蛋了。幸而，借助先进的思维工具，人类的思维模式能突破‘阿列夫0’，进而远达‘阿列夫1'、'阿列夫2' ............

   可能很多朋友以前没听过康托尔连续统理论，对关于无穷大的阶，对阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2不熟悉。也难免，对于不熟悉的很容易把人绕晕，何况是连大师都看不清的无穷大。

   康托尔连续统理论至今也没有被完全彻底的证明，比如我们不知道‘阿列夫0’和'阿列夫1'之间是不是有‘阿列夫0.5’、是不是有‘阿列夫0.1415926......’，所以康托尔连续统理论更多地被提为康托尔连续统假设。

   尽管还有这样那样的不足，康托尔连续统理论还不完善。但是，它的意义却是非同寻常的。并且，康托尔连续统理论中核心部分应该是可信的、是确定无疑的，比如通过可列和不可列的严格证明，明确了‘阿列夫0’和'阿列夫1'的本质差别。

   后面章节，通过不确定性原理的故事，将为大家隆重介绍‘阿列夫2’是何方神圣。并且，通过认识‘阿列夫2’，我们将能明白量子力学不确定性原理的本源。更重要的是，通过“不确定性原理”的探讨，能对“不完备性定理”有更加深入透彻的认识。进而理解人工智能深度学习架构为什么能取得前所未有的巨大突破。