3.4 空间折叠

   上一节可以形象的看出，无理数都是多维空间图形，它们是多维空间通过“空间折叠”映射到一维直线上的。

   关于空间折叠的观念，在现实生活中，是一个普遍的现象，日常生活司空见惯。

   比如，为了便于携带，常常把三维空间的立体的凳子折叠成二维空间的一片木板的样子。

   对三维立体物体空间折叠的好处是显而易见的：1、折叠后节省空间；2、折叠后简洁规范

   不仅仅子桌子椅子需要折叠，我们日常表达一个事物也常常用到维度折叠的方法。

   比如：

   【新石器工具】     尖石头 ＋ 木棍 ＋ 绳子 => 矛

   ‘尖石头’、‘木棍’、‘绳子’等组成了一个新石器武器，可以“尖石头 ＋ 木棍 ＋ 绳子”等多特征维度来描述石器武器。不过在不需要特别考虑部件细节的时候，用部件的组合来描述也显得太麻烦太累赘不必要。现实中，我们更多地是简单化笼统表示，常常只需一个特征属性词语‘矛’来表达。所以，当‘矛’这个整体概念囊括‘尖石头’、‘木棍’、‘绳子’等部件组合时，其实就是在进行“特征维度折叠”（空间折叠）的表达。

   又比如，一体条鱼可以看作其眼、耳、口、鼻、心、肝、脾、肺等各个器官的组合。用线性空间观点来看，眼、耳、口、鼻、心、肝、脾、肺等组成了一个多维度空间，如果以这个多个动物器官特征维度空间来描述鱼，当然是可以的。不过在不需要特别考虑部件细节的时候，用器官的组合系统化来描述也显得太麻烦太累赘不必要。现实中，我们更多地是简单化笼统表示，常常只需把鱼眼、鱼耳、鱼口、鱼鼻、鱼心、鱼肝、鱼脾、鱼肺等多个器官的有机组合体用一个特征属性词语‘鱼’来表达。所以，当‘鱼’这个整体特征属性概念囊括鱼眼、鱼耳、鱼口、鱼鼻、鱼心、鱼肝、鱼脾、鱼肺肺等多器官特征维度时，其实就是在进行“特征维度折叠”表达。

   道理都是通用的，由于空间折叠的优点，在理论科学中类似空间折叠的现象也非常普遍。

   比如，骰子的数学期望（概率词汇）类似于空间折叠

   可以看出，如果在点数的1、2、3、4、5、6六个面的每一面的概率相同（概率都是1/6），则空间折叠（维度折叠、或者称为空间塌陷等等）将得到一个一维空间的数学期望值

    骰子的‘数学期望’=Σ（1+2+3+4+5+6）*(1/6) = 3.5

   又比如，n×m维和m×k维矩阵的乘积度的矩阵空间变成n×k维的数量的过程，相当于维度缩并，类似于空间折叠：

  再比如，常见的n×1维和1×n维矩阵的乘积，是西格玛类∑的合计，计算后缩并一个具体的数:

   还比如，普通的积分运算是不可数的微分dt的连加，最终得到的收敛积分值是一个具体的数。

   这可以看作是连续无穷维空间（微分分量）压缩到一维空间，这也类似于空间折叠：

   不得不提的另一个容易忽视，却意义重大的秘密：

   空间图形经过维度折叠以后，原有的多维空间线性关系，很可能变成非线性的关系！（特征属性变异，同构映射变形）

   比如：直角三角形斜边和两个直角边，在二维平面上构成了线性关系。记斜边为cZ、直角边分别为aX、bY，则满足线性关系：

    aX ＋ bY => cZ

    但是，三角图形经过维度折叠以后在一维空间上，三角形三条边的长度不再具有线性关系。这时直线上，体现的是三角形三条边的模（标量长度）的平方和关系，满足非线性的勾股定理：

     注意，带平方的这个等式肯定不是线性关系的。

     注意，也是这个时候无理数才大驾光临的。

     也就是说，原来在二维空间的具备线性关系的斜边（本来‘有理’的数），是因为维度折叠到一维直线上时变成模平方关系，所以才体现出平方根‘无理’数的非线性关系的。

   “空间折叠”可以漂亮的解释无理数的现象：

   第一，为什么无理数远远多于有理数呢？

   答：因为有理数源自于一维直线，而无理数源自于多维空间。构成了多维空间的无理数，显而易见比组成一维直线的有理数多得多啦。

   第二，为什么诡论无理数对形式逻辑而言是不可判定的？

   答：因为诡论无理数是通过多维度空间折叠到一维直线的。多维度空间原有的线性关系因为空间折叠，“结构变形”了，不再具有原本的线性关系。所以线性关系下的形式逻辑系统，无从判断变形后的非线性关系的诡论无理数。

   类似的现象是：我们无法从折叠后的物体扁平形状，认出它本来的立体的模样。

   再多扯一句，先打个伏笔（后面再详细探讨），“空间折叠”现象是非常值得研究的。因为虽然折叠后的物体已经变形，但某些结构关系却仍然有痕迹。我们有可能通过某种手段（比如张量积上的群），部分的恢复出折叠之前的空间结构。

   比如，如果在直线上某组数据存在平方根关系可以推知这是个空间三角形、如果在直线上某组数据之间有个π可以推知与空间圆形（曲率）有关，等等。