15.6 无穷阶可微

      两千多年以来，所有自然科学都是以线性空间为参照系的。长期受到线性空间思维洗脑的同学们，很少关注维度（特征属性加法）和复合阶数（特征属性乘法）的区别。

     实际上，我们学习函数时接触过的重要概念，光滑函数，就是无穷阶复合乘积。

    光滑函数在数学中特指无穷阶可导的函数。若一函数是连续的，则称其为 函数；若函数1阶可导，且其1阶导函数连续，则被称为可微函数；若n阶（n趋于∞时）可导，且其n阶导函数都连续，则为光滑函数。

    我们知道，一阶导数相当于乘以一个▽ 算子，二阶导数相当于乘以两个▽ 算子.........n阶导数相当于乘以n个▽ 算子，也就是n次复合乘法。“光滑”的本质含义，就是无穷阶▽ 算子复合乘积的结果仍然有意义。

    借此再来捋捋李群。李群是具有群结构的微分流形，且群的乘法和求逆运算都是光滑的（无穷阶可微）。

    李群的这种独特性质，使之可以代数化。

    下面来看看以李代数来刻化李群的关键步骤：

  1、首先，在李群单位元邻域作类似于泰勒级数展开，计算1阶偏导项x1、x2、...... xn的组合，

   以x1、x2、...... xn为基的线性组合，构成的一个线性空间，称为李代数。

  2、然后，计算任意的1阶偏导项x1、x2、...... xn的对易子（即2阶复合偏导项的差值）。

     李群的主要性质都可以从李括号（李代数对易子）的性质得到。

   李代数的向量基x1、x2、...... xn的加法，以指数函数转换，相当于李群的群乘法：

   exp（x1+x2+...... +xn）

   =exp(x1) * exp(x2) *.........*exp(xn) 

    李群作为群空间，基本运算是乘法（群加法也相当于群乘法）。但是特征属性复合乘法非常复杂， n阶m维特征属性张量不仅对我们人类而言难以理解，对超级计算机而已也是算法灾难。

   幸运的是，光滑的李群却可以借用李代数来大体刻画，而李代数是我们熟悉的线性空间。这样，原本n阶（乘法）张量演算就简化成了m维（加法）线性运算，从而变得容易计算和领会。