15.5 缩并

    人工智能的本质是借助特征属性参照系，进行对象物的量化和推演。

    n阶m维特征属性参照系即n阶m维张量空间，张量空间所有参数都是特征参数。

    特征属性的扩张，一种是维度扩张（特征属性加法），一种是张量积扩张（特征属性乘法）。

    向量的张量积，即外积。

    与外积对应的叫内积，向量乘向量的内积是特征属性发生了缩并，特征属性缩并生成标量。（注意，矢量乘矢量并不总能得到标量，详见：15.2 矢量乘矢量是标量吗？）

    在特征属性空间中，没有特征属性的标量，是另类存在。

    那么，不含特征属性的标量是哪里蹦出来的呢？

    标量产生的本质，是特种属性缩并。特种属性缩并得到特征值，特征值是标量。

  【线性系统】   aX + bY + cZ => P  
 其中，具有1阶特征属性的向量X、Y、Z叫做系统的‘特征基’，标量常数a、b、c叫做对象P在特征基上的特征值。

    如果我们以狄拉克一个左矢与一个右矢的内积，可以理解得更清晰些。

    左矢<α是一个向量，右矢β>是一个向量，左右矢的内积<α|β>是个标量。

   进一步看，有意思的是，左矢组成的空间和右矢组成的空间互为对偶的空间，左矢空间和右矢空间把希尔伯特空间一分为二。而且，一个空间是向量空间，一个空间是旋量空间。

      相互对偶空间为什么一个是向量空间，另一个为旋量空间呢？

   设(a,b)和（x,y）互为对偶空间，则左矢<a 、<b 与右矢x>、y> 发生特征属性缩并，得到特征值c：

    ax+by=c

    当我们把x、y 看作特征基（坐标轴X、Y），把a、b看作的投影值时，得到如下直线：

     有好事者想，凭什么不能把a、b 作为特征基（坐标轴X、Y）的坐标变量，反之而把x、y看作直线斜率呢？（这其实就是‘对偶’观念）

     这时，如果在直线  上固定一个点  ，作图线  （ 其中 是  点的  坐标，  是  点的  坐标）：

    注意，当 在上沿直线滑动时，随着变动， 和  的数值也随之变化，即  直线的斜率随之变动。这相当于，相对于X、Y坐标轴而言， 有对应的无数条  在旋转运动：

     这就是张量上的旋度的意义：向量空间矢量变化等同于其对偶空间的旋量变化。

    进一步看，如果我们把X、Y看作特征基、把x、y看作直线斜率，把a、b 作为特征基（坐标轴X、Y）的坐标变量，对应于一个双线性结构（直线 和直线 两个线性约束条件塑造）。这个双线性结构，相对于X、Y坐标轴而言，有一个是沿直线滑动（方向不变、大小变化）的矢量，对应一个是相对中心点旋转（方向变化、大小不变）的旋量。

   并且，这个双线性结构，也可以看作是4个特征基（协变*逆变）的张量积空间，如7.3 多重线性关系章节探讨过的：

     如果我们把上述直线 和直线 两个线性约束条件，看作是4个特征基（协变*逆变）的张量积空间，即分别把中的x、y 作为特征基（X、Y）的投影，并且把中的a、b 看作另一对特征基（α、β）的特征值，那么这个向量空间（α、β）正是向量空间(X，Y)的对偶空间：

     在4个特征基的“向量空间*对偶空间”张量积空间，对于X、Y两特征基的旋转量，转换成4维度的线性量。

    几点补充说明：

1、当左矢<α是一个向量，右矢β>是一个向量，左右矢的内积<α|β>等于标量1时，<α等于 1/β> ；即左矢<α和右矢β>相对于乘法互为“倒数”。换句话说，特征属性“倒数”，是旋量产生的根源。（注，这里的乘法是带特征属性的向量乘法，不是标量乘法。这里的“倒数”是特征属性倒数）：

2、连续无穷维度微分几何中，设dx和dy分别为相互对偶空间的基矢量，则1/dy是dy的“倒数”，也可能是dx的“倒数”：

3、协变张量的实质是个“倒数”。如果把上标逆变看作分子，则下标协变看作分母的上标；

 4、张量缩并的本质，是协变张量和逆变张量的复合乘积， 协变张量在分母的位置、 逆变张量在分子的位置； 

5、特征属性空间的矩阵元素，都是某个左矢和右矢的内积，代表某个属性的特征值。

6、张量对偶空间的每多1阶，即多复合一个“倒数”特征属性。