第十五章 算法基础

15.1 乘法霸权

   “量子霸权”又成了刷屏热词。

   10月23日，《自然》（Nature）杂志正式刊登了谷歌的研究报告，头版头条放出了谷歌的豪言壮语，我们实现了“里程碑式的量子霸权”。一个多月前，谷歌一份研究报告现身美国国家航空航天局（NASA）网站。尽管被火速撤下，但这篇报告抛出的一个重磅概念——“量子霸权（quantum supremacy）”，引发热议。谷歌的科学家们宣称，他们的量子计算机进行了一项特殊的计算，只用了200秒，而同样的运算即使当前最先进最超级最快的电子计算机也需耗费万年时间。

   那么，量子计算究竟有什么牛叉之处呢？ 

   网上一些介绍文章云里雾里说了半天，不着要点。借此机会，粗浅聊聊。

     根据泡利矩阵，1个量子有1个上自旋态和1个下自旋态。下意识，我们会认为3个量子就应该有3个上自旋态和3个下自旋态，合计也就是6个量子态，经典物理学就是这样认为的；然而，量子物理却推断3个量子存在8个量子态。

     为什么呢？

     因为量子态存在“纠缠”

    纠缠态（量子计算的基础）的秘密就在于我们熟悉而又陌生的“乘法”

   乘法概念，最初源自小学一年级算术课。

   非数学系学生可能不会注意到“算术”和“数学”有何区别，很多人大概以为只是英语翻译的不同吧。

   梳理一下：

   不太严格地说，“算术”其实只能叫做数学前传。代数是算术的后一个阶段，进入代数以后，我们抛开了实际的数字，而以x、y、z等符号演算数理逻辑，才真正进入了数学的殿堂。个人认为，数学的根基在于“代数”（数学分析可看作无穷维的代数，概率论可看作参照系维度不完备的代数）。

   代数的第一个阶段是“初等代数”，初等代数研究的课题是标量，以及标量的加减乘除；

   代数的第二个阶段是“高等代数”，高等代数研究的课题是向量，以及向量的加法（此阶段没有向量乘法）；

   代数的第三个阶段是“抽象代数”，抽象代数研究的课题在向量加法的基础上，扩展出了向量复合乘法，以及向量乘法对向量加法的作用（环作用模）。

   注意，算术课的乘法，只局限于标量乘法。

   量子纠缠态是一种向量复合（高阶张量），所以3个量子的上下自旋复合态不是标量乘法：3*2=6 

   而是向量复合乘法：2*2*2=8

   而且，量子纠缠态的这种所谓复合乘法，和深度学习中的多层次特征复合在数理逻辑上是一回事情，数学本质都是特征属性的复合。

   进一步说，AI的根本，或者说‘智能’的根本，都是围绕着事务“特征属性”的研究。标注特征属性、提取特征属性、分解特征属性、抽象特征属性、演算特征属性等等。

   从欧几里德《几何原本》开始，人类文明进入了“高等代数”阶段，研究的课题是单特征的向量（一阶特征属性），以及向量的加法（即线性空间）。

   随着群乘法的引入，数学得以升级到特征属性复合乘法，高阶特征属性使得“乘法”不再是标量（0阶特征属性）范畴，而有更加深远的意义。比如，14.8 特征相乘的例子，保险公司要降低赔付率需采取“随车随人定价”方式，也就是要演算不同人的特征属性和不同车的特征属性的复合乘积。

  表明上看，n阶特征属性的复合乘积，似乎可以a的n阶维的基向量表达，高阶张量空间好像仍然等同于线性空间（只是更高维而已）。算术课里的乘法，不就是一种特殊加法么？

  其实不然。一方面，无穷维张量空间，比如阿列夫2维量子本征态exp(ipr)，超过了线性空间表达范围（最多阿列夫1维）。另一方面，纠缠态等复合特征属性的演算，比如量子计算机，并非经典物理（线性空间理论）可以比肩。

   简而言之，所谓“量子霸权”时代，也就是“乘法霸权”时代。当然，这里的乘法不再是标量乘法，而是带着特征属性的复合乘法。

   本章节将探讨特征属性复合乘法的算法基础，比如从复合乘法李群化简到特征加法李代数，从机器人机械臂旋量代数到4维时空的通用表达，从左模张量积到深度学习高阶模型等。