对称性在晶体的宏观物理性质方面起着很重要的作用。晶体的宏观物理性质需要满足晶体的点群对称性，这一定理为Neumann原理^[1]，其内容为：晶体的任何宏观物理性质的对称元素，必须包括晶体所属点群的全部对称性元素，即物理量在晶体对称性操作下不变。

下面介绍Neumann原理在电介质晶体相关张量对称性的应用^[2]。

A.      介电张量（二阶极张量）

在材料内，极化率强度P和E的关系为：

$\mathbf{P}={{\varepsilon }_{0}}{{\mathbf{\chi }}_{ij}}\cdot \mathbf{E}$              (1)

对于各项同性的介质，P和E有相同的方向，式中的为${{\varepsilon }_{ij}}$标量。但是对于各项异性的材料，晶体的电极化强度矢量P和电场强度E有不同的方向，式应该写成下面的矩阵的形式：

             (2)

其中方括号中的${{\chi }_{ij}}$为3×3的方阵，组成电极化率张量。因此，介电系数${{\varepsilon }_{ij}}$也为一个张量，并和${{\chi }_{ij}}$满足以下关系：      

               (3)

而${{\varepsilon }_{ij}}$和${{\chi }_{ij}}$都是二阶极对称张量，在不同的点群的材料中满足一定的对称性。另外介电函数是一个实厄米矩阵，还需要满足对称性：$\varepsilon ={{\varepsilon }^{T}}$，即$\varepsilon $的九个张量元只有六个是独立的：

              (4)

如果晶体具有G₀的点群对称性，R为群G₀的一个操作矩阵，在坐标变换下R的矩阵表示为D(R)，则介电张量的变换性质为：

$D(R)\varepsilon D{{(R)}^{-1}}=\varepsilon $             (5)

根据以上的关系就可以得到$\varepsilon $的对称性。例如对于正交晶系（三个相互垂直的C₂或者m构成的群），如果选取R为绕z旋转180°，则：

               (6)

带入式可得：

             (7)

故${{\varepsilon }_{13}}=-{{\varepsilon }_{13}}\text{=}0$，${{\varepsilon }_{23}}=-{{\varepsilon }_{23}}\text{=}0$，因此这两个张量元为零。进一步选择C_2x和C_2y的对称性操作，可以得到正交晶系介电张量的对称性为：

              (8)

用类似的方法可以将32点群的介电张量都求出来。按照各晶系所含的高次轴（二次轴以上的轴均为高次轴）的情况将7个晶系分为高级（含两个或两个以上高次轴）、中级（一个高次轴）、低级（无高次轴）晶系。立方晶系属高级晶系，六方、四方及三方属中级晶系，正交、单斜和三斜属低级晶系。晶系类别和晶体的介电系数、光学特性分类有关，高级晶系的光学特性为各向同性，而中级晶系的光学晶体为单光轴晶体，而低级晶系的光学晶体为双光轴晶体，如表 1所示。另外，晶体的电导率、磁化率、介电常数、热导率都是二阶张量，也可以按照类似的方法求出其对称性。其形式参考《晶体物理学 (陈纲等 科学出版社)》的附录。

表 1  晶体的介电系数和光学特性分类

注：表内的符号C表示发生色散的轴，在表中用两个分开一个小角度的细线表示；F代表方向固定的轴，用粗线表示；R代表可自由转动或不确定的轴，用终止于圆或球上的虚线来表示。

B.      热释电系数（一阶极矢量）

热释电系数是一阶极矢量，在坐标变换下，热释电系数p的变化性质为

 $\mathbf{p}=D(R)\mathbf{p}$                  (9)                

从可以看出，中心反演和垂直于主轴的镜面都会让热释电系数p变为0。根据式也可以将32点群的热释电系数都求出来，如表 2所示。

热释电系数是极矢量，表 2中的点群称为极性点群：只有一个n度旋转轴，或者一个n度旋转轴再加上一含有该旋转轴的镜面对称性元素。热释电系数只能存在于极性点群中。因此，32个点群可以分为三种类型，列于表 3中。

表 2  热释电系数表

     注：其他点群的热释电系数张量为0

表 3   32个晶体学点群分类

C.      非线性系数、压电张量（三阶极张量）

非线性光学系数和压电张量是三阶极张量。压电系数的表达式：

${{\varepsilon }_{ijk}}=\frac{d{{P}_{i}}}{d{{\varepsilon }_{jk}}}$                (10)

二阶非线性系数$\mathbf{\chi }_{ijk}^{(2)}$与电极化的关系为：

$\boldsymbol{P}=\varepsilon_{0}\left(\chi_{i j}^{(1)} \cdot \boldsymbol{E}+\boldsymbol{\chi}_{i j k}^{(2)}: \boldsymbol{E} \boldsymbol{E}+\cdots\right)$                    (11)  

三阶极张量T的在对称性操下的变换形式为：

      ${{{T}'}_{ijk}}={{a}_{i'l}}{{a}_{j'm}}{{a}_{k'n}}{{T}_{lmn}}$               (12) 

上式考虑了爱因斯坦求和约定。在坐标系变换为中心反演操作时，其变换性质为：${{{T}'}_{ijk}}={{a}_{il}}{{a}_{jm}}{{a}_{kn}}{{T}_{lmn}}\text{=(-}{{\text{ }\!\!\delta\!\!\text{ }}_{i'l}})\text{(-}{{\text{ }\!\!\delta\!\!\text{ }}_{j'm}})\text{(-}{{\text{ }\!\!\delta\!\!\text{ }}_{k'n}}){{T}_{lmn}}=-{{T}_{ijk}}$          (13)   

根据上式，中心反演对称性让系数为0。因此，压电效应和非线性光学效应只存在于非中心对称的体系中。

根据公式，可以求出T_ijk的对称性。另外，根据本征置换对称性，T_ijk可以由原来的3×3×3的三阶张量，收缩为3×6的二阶张量T_ij，下标对应关系为：

例如$\bar{4}2m$点群（黄铜矿）的非线性张量为：

$\bar{6}2m$点群的（GaSe/单层MoS₂）非线性张量为：

23、$\bar{4}3m$（GaAs）点群的非线性张量为：

D.总 结

热释电为一阶张量，介电为二阶张量，压电和非线性物理量为三阶张量，都属于晶体对各种外界激励的电学（或光学）响应，非中心对称体系中除432点群外都有压电特性。因此，材料的电介质性质可以分为图 1以下几类。

图 1 电介质晶体分类

宏观物理性质决定于空间群G和其同态点群G₀的原因：

       空间群G和其同态点群G₀的同态映射不仅是抽象的概念，它更反映了晶体微观和宏观构造有联系这一物理事实，更深一层说，它来源于这一事实。空间群描述晶体微结构，点群描述晶体的多面体外形。如某晶体有一螺旋轴，令一晶面网格和轴斜交（宏观上这一网格表现为晶体的面），螺旋轴的微观作用是使这一网格旋转并移动原子尺度的距离。宏观上看螺旋转动能被觉察和测量到的只是转动，即在晶体多面体中只看到简单转动轴。其他有平移分量的对称素的宏观表现也一样，即它们失去了平移分量。换句话说，在宏观上“看到的”空间群及其对称素仅仅是相应的点群及其点对称素。

[1]参考 a) http://reference.iucr.org/dictionary/Neumann%27s_principle

       b) http://oldwww.iucr.org/iucr-top/comm/cteach/pamphlets/18/node4.html

[2]部分参考《晶体物理学基础 (科学出版社)陈纲等著》2.4节、4.1节、8.4节。