近来与一个老头聊天，他提出一个关于数论的问题，看看能否解决掉。由于我不是搞数论的甚至和数学都不太沾边，所以这个问题对我有不小的难度，即便是能理解这个问题。其实，这个问题连初中生都可以理解的，但毕竟理解问题和解决问题不是一回事嘛。我想，科学网可是藏龙卧虎之地，现在把这个问题贴出来，与大家分享。希望能有一天，一不小心搜出一篇文章来，把这个问题给完美KO掉。下面贴上这个问题，分四个层次，难度依次递增，如下（姑且称为卢氏问题:）：

（1）在包括1和10ⁿ在内的1到10ⁿ的正整数里，有m组满足勾股定律的数，请问m与n的关系是怎样的?也就是说，3²+4²=5²是满足勾股定律的一组数；6²+8²=10²也是满足勾股定律的一组数。问题这就来了，请问n=1时m=?；n=2时m=?；n=3时m=?……以此类推。

（2）在包括1和10ⁿ在内的1到10ⁿ的正负整数里，有m组满足勾股定律的数，请问m与n的关系是怎样的? 也就是说，3²+4²=5²是满足勾股定律的一组数；(-3)²+4²=5²也是满足勾股定律的一组数；3²+4²=(-5)²还是满足勾股定律的一组数。则问题又来了，请问n=1时m=?；n=2时m=?；n=3时m=?……

同样，

（3）在包括1和10ⁿ在内的1到10ⁿ的正有理数里，有m组满足勾股定律的数，请问m与n的关系是怎样的?

（4）在包括1和10ⁿ在内的1到10ⁿ的正负有理数里，有m组满足勾股定律的数，请问m与n的关系是怎样的?

如上4个问题，其实本质上归为一个问题，不同之处在于数域的范围。怎么样，各位看官，有意思吧这个问题。要有意思，就开动聪明的大脑，干掉他吧。然后，顺便写个论文啥的，到时可别忘了与我们分享哦。期待中……

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最后附上一个类似问题的求解思路：

在n为有限正整数的[-10ⁿ,10ⁿ]数域里，请问满足勾股表达式x²＋y²＝z²和含n位小数点之全部有理数x、y、z的组数F(n) 是多少?

不难看岀，n=1时, 在[-10,10]数域里有3²+4²=5²这一勾股表达式。因3、4、5是一组有理数，故F(1) 至少等于1。在[-10,10]数域里还有勾股表达式0.3²+0.4³=0.5²，而且0.3、0.4、0.5是1位小数点的有理数，所以F(1) 就至少要等于2。事实上，-3、-4、-5和 -0.3、-0.4、-0.5也满足勾股表达式(-3)²+(-4)²=(-5)²与(-0.3)²+(-0.4)²=(-0.5)²。这样F(1)起码要等于4。经过详细分析研究后得岀其最终答案是F(1)=160。由此可见，隨着n的增长, 求解F(n) 必将变成为一个典型的大数据问题。

验证F(1)=160是否正确的直接方法是, 首先列岀已找到之160組满足题意的有理数, 然后再看是否能夠找到另外的满足题意之有理数组。请读者验证一下F(1)=160是否正确?

附: 在[-10,10]数域里, 满足勾股表达式x²＋y²＝z²和含1位小数点之全部有理数x、y、z的数组如下, 共计20×8=160組。

1，3/4/5;3/4/-5; 3/-4/-5; -3/-4/-5; -3/-4/5; -3/4/5; -3/4/-5; 3/-4/5

2，6/8/10;6/8/-10; 6/-8/-10; -6/-8/-10; -6/-8/10; -6/8/10; -6/8/-10; 6/-8/10

3，1.5/2/2.5;1.5/2/-2.5; 1.5/-2/-2.5; -1.5/-2/-2.5; -1.5/-2/2.5; -1.5/2/2.5; -1.5/2/-2.5;1.5/-2/2.5

4，0.6/0.8/1.0;0.6/0.8/-1;0.6/-0.8/-1; -0.6/-0.8/-1; -0.6/-0.8/1; -0.6/0.8/1; -0.6/0.8/-1; 0.6/-0.8/1

5，0.3/0.4/0.5;0.3/0.4/-0.5; 0.3/-0.4/-0.5;- 0.3/-0.4/-0.5;- 0.3/-0.4/0.5;- 3.4/0.4/0.5;-0.3/0.4/-0.5; 0,3/-0.4/0.5

6，1.2/1.6/2;1.2/1.6/-2; 1.2/-1.6/-2; -1.2/-1.6/-2; -1.2/-1.6/2; -1.2/1.6/2; -1.2/1.6/-2; 1.2/-1.6/2

7，0.9/1.2/1.5;…

8，1.8/2.4/3;…

9，2.1/2.8/3.5;…

10，2.4/3.2/4;…

11，2.7/3.6/4.5;…

12，3.3/4.4/5.5;…

13，3.6/4.8/6;…

14，3.9/5.2/6.5;…

15，4.2/5.6/7;…

16，4.5/6/7.5;…

17，4.8/6.4/8;…

18，5.1/6.8/8.5;…

19，5.4/7.2/9;…

20，5.7/7.6/9.5;…

注：以上问题的提出及求解思路均属于这个老头子，如果读者感兴趣，请邮件联系：wenquanlu@163.com