模态分析实旨是一种坐标变换方式，是将物理空间上耦合的运动方程变换成一组单自由度系统的运动方程的过程，那么变换后的单自由度系统与我们通常所说的单自由度相同吗？模态分析最终目的是获取模态参数，也就是获得频率、阻尼和振型信息。频率和阻尼也称为极点，模态振型也称为模态向量，那到底什么是模态振型呢，它又起什么作用呢？

本文主要介绍以下内容：

1. 模态中的单自由系统；

2. 模态振型的定义；

3. 模态振型的性质；

4. 模态振型缩放方法。

1.模态中的单自由度系统

从计算角度上讲，模态分析是将物理空间上复杂的，耦合的运动方程通过特征值求解和模态变换方程变换到模态空间，在模态空间这组物理空间上耦合的方程变成了一组解耦的单自由度系统的运动方程，所图1所示。我们可以将图1中的物理模型分解成一组单自由度系统，如图中所示的蓝色1阶、红色2阶和绿色3阶等等。模态空间使得我们更易于用单自由度系统去描述结构系统。

图1 模态坐标变换

从试验模态分析角度上讲，通过对测量的频响函数进行曲线拟合，提取到各阶模态参数，每阶模态都是单自由度系统，如图2所示，试验模态分析将图2中上面的FRF曲线分解成下面的三个单自由系统。

图2 试验模态分析中的三阶模态

通过之前的文章《什么是固有频率？》，我们已经明白：1个自由度对应1阶模态（包括频率、阻尼和振型）。如图3所示为自由-自由梁的第1阶弹性模态，测量自由度为15，也就是说由这15个测量自由度绘得第1阶的模态振型如图3所示。这阶模态是一个单自由度系统，但是在这个振型中却有15个测量自由度，而不是1个测量自由度，那么，模态中的单自由度与我们平常所说的自由度相同吗？一个测点一个方向是一个自由度，在这个梁中它有15个测点，每个测点仅测量一个方向，因此，它有15个测量自由度。

图3自由-自由梁第1阶模态振型

首先，让我们回顾一下自由度的定义。自由度是确定系统在空间上运动所需要的最少、独立的坐标系的个数。在这个梁结构中，一个测点是一个自由度，共有15个自由度，但是在这阶模态振型中，只要确定其中任何一个测点的振型值（也称振型系数），那么其他测点的振型值也就确定了（包括方向），也就是说每个测点之间都存在特定的关系，而这种特定的关系就是由这阶模态振型所决定的，因此，只需要使用一个自由度就可以确定这阶模态的振型，所以，一阶模态称之为一个单自由度系统。因而，模态中的单自由度系统跟我们平常所说的单自由度是相同的。一阶模态称为一个单自由度系统，这时跟测点数量没有关系，因为，每个测点之间都有固定的关系，这个关系就是由模态振型决定的。

2. 模态振型的定义

从计算模态的角度来讲，由特征值求解得到的特征值和特征向量，分别对应一阶模态频率和模态向量（当然也可能存在重根）。模态振型，也称为模态向量，模态振型向量，模态位移向量。模态振型是结构节点或测点的函数，如有限元模型节点数（注意不是模态中的节点）上万，甚至上百万，那么，模态振型就是这些节点的函数。而在试验模态中，由于测点数量远小于有限元模型的节点数，通常测点数从数个到数百个，因此，试验模态振型就是这些测点的位置函数。由于结构有无限多阶模态，因此，每一阶模态振型都不相同，也就是模态振型除了是结构位置的函数之外，还是模态阶数的函数。

对计算模态而言，由于节点数成千上万，因此，对于描述每一阶模态振型来说，这些节点数量总是足够的。但对于试验模态而言，为了合理地描述模态振型，要求测量自由度必须足够，不然不能唯一地描述所关心的模态振型，还可能存在空间上的混叠。

模态振型，通俗地讲是每阶模态振动的形态。但从数学上讲，模态振型是模态空间的“基”向量。在线性代数中，基向量是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。在模态空间，这个基向量的个数就是模态的阶数。

在进一步介绍模态振型之前，先让我们介绍回顾一下二维空间上的一些特征。在二维空间，也就是直角坐标系中，相应的基向量是（1，0）和（0，1）。二维空间，如图4所示，空间上任一坐标都可以用这两个基向量来表示（当然这个相当简单）

图4 二维空间

而在模态空间中，对应的为模态向量与模态坐标，模态向量就是模态振型，是模态空间中的基向量。而模态坐标是加权系数，是各阶模态对响应的贡献量。因此，对于线性时不变系统而言，系统任一点i的响应均可表示为各阶模态值与模态坐标q的乘积，即各阶模态在这个位置产生的响应的线性叠加

式中φir为第i个测点的第r阶模态振型值，N表示模态阶数。由M个测点的振型值所组成的列向量，就是第r阶模态向量

它反映的是该阶模态的振动形状，即这阶模态振型。由各阶模态向量组成的矩阵称为模态矩阵，记为

它是一个M×N的矩阵。将各阶模态坐标记成

因此，各个测点的响应为

可以简记为

通过上式，我们可以明白，结构任何一点的响应都可以用模态向量与模态坐标的乘积来表示，这也验证了模态分析实质上是一种坐标变换方式。从这也可以验证普通的振动测试是模态的表象，实质起作用的还是模态。或者可以说，通常我们测试的响应是处于某种运动状态下的结构被激起来的那些模态在测量位置处的叠加。

由于频响函数为复数，得到的模态振型值也为复数，因此，可以用幅值与相位或实部与虚部来表示模态振型值。在这，给出一个自由-自由梁第1阶弹性模态振型实例。对一根自由-自由梁划分了15个测点，通过试验模态分析得到的第1阶模态振型如图3所示，这15个测点的模态振型值如表1所示。另一方面，虽然振型值有实部与虚部，但当振型动画时用的是幅值与相位来显示。幅值表示了运动幅度，而相位则表明了运动方向。

表1 梁的第1阶弹性模态振型

3. 模态振型的性质

模态振型具有以下性质：

1）模态振型为相对量，可任一缩放。也就是说各个位置的振型系数是相对的，可以将各阶模态振型乘以任何一个非零数，仍为同一阶模态振型。有时，在动画显示时，都可以看到振型要破屏而出，这时，实际上是振型放大了很多倍。只有当模态向量乘以了模态坐标，这时得到的结果（也就是响应）才是绝对值。

2）用位移表示（应变模态除外）。模态测试的响应传感器类型可以是位移、速度和加速度，但最终得到的模态振型值一定是用位移表示，跟响应传感器类型没有关系，这也是我们称常规模态为位移模态的原因所在。

3）模态向量关于质量和刚度矩阵正交。注意正交性不是指模态向量彼此之间正交，而是指通过坐标变换到模态空间得到的模态向量是关于质量和刚度的加权正交。正交性是使系统方程解耦而进行坐标变换的基础。如果模态向量彼此是正交的，那么MAC矩阵就可以做正交性检查了，但实际是MAC不是做正交检查的，而只是检查各阶模态振型之间的相似程度。

4）模态振型是局部特征。模态参数频率和阻尼是结构的全局特征，从一个测点（避开各阶模态的节点）理论上就可以得到所有模态的频率和阻尼，而想得到模态振型就必须测量许多测点，因此，模态振型是结构一种局部特性。

5）模态振型是位置的函数。从表1也可以看出，同一阶模态，测点位置不同，振型系数也不相同，因此，模态振型是位置的函数。另一方面，不同阶的模态，即使同一位置，振型系数也不相同。

4. 模态振型缩放方法

由于模态振型是相对量，因此，可以任一缩放，常用的缩放方法有质量归一法、刚度归一法、最大元素归一化等。

质量归一法：各阶模态质量设置为1，得到模态振型。由于模态质量、模态刚度和模态阻尼都是相对量，因此，可任何设置其中一个为1。当对比试验模态振型与计算模态振型时，通常使用质量归一法。

刚度归一法：各阶模态刚度设置为1，得到模态振型。

模态a矩阵归一法：模态a矩阵是一个对角阵，是模态变换过程中的一个中间矩阵（关于它的详细介绍请阅读模态书籍）。将模态a矩阵设为单位阵，得到模态振型。

模态向量归一法：取模态振型中各测点的模态振型系数的平方和等于1，得到模态振型。

最大元素归一法：将模态振型中振型系数最大的设为1，得到模态振型。

任意元素归一法：将选择的测点的振型系数设定为1，得到模态振型。如果刚好选择的是振型系数最大的测点，那么将与最大元素归一法得到的振型相同。

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扩展阅读

1.什么是固有频率？

2.什么是模态分析？(上)

3.什么是模态分析？(下)

4.什么是锤击法？

5.什么是激振器法？

Source: https://zhuanlan.zhihu.com/p/28830075