对伽马函数的一些认识

葛维亚

       伽马函数Γ (x)是非常重要的特殊函数，在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。伽马函数最初被欧拉和韦伯斯特于1730年发现，它也常常被称为欧拉第二类积分。伽马函数在分析学、偏微分方程、概率论、医学，统计学、水利、水文等领域具有重要的应用。伽马函数可以用来描述物理和运动学中的空间衍射定律，即物体在不同角度距离的变化。伽马函数也用于描述物理热学，描述物质通过不同温度的热力学属性。

       伽马函数还可以用来绘制曲线图，利用简便地可视化数据，可以把统计学中的直方图转换为曲线图形，这样就可以更清楚地给出数据分布情况的描述。

       伽马函数的特点如下:

1伽马函数是一种带有自变量的数学函数，可以用来描述阶乘函数n! 和负整数阶乘函数 -n，并予以推广。

2 伽马函数Γ (x)，当x >0时收敛。

3伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它可以全部进行解析。

4 因为伽马函数对单值变量的积分最后会得到一个确定的数值，对特定的表达式，当 x>0时，函数是收敛的。

5 由于使用伽马函数定义了许多概率分布，对于科技界、金融界、财政界、工商界等众多行业，伽马函数可能是一种最广泛使用的函数。

6 伽马函数具有反函数的性质，对于y=x是对称的。

       其实，伽马函数早就和水文“结缘”，在水文频率计算中大显身手，遗憾的是多数水文业者不知道这一点，只知道矩法、皮尔逊Ⅲ型曲线以及均值（数学期望）、变差系数cv、偏态系数cs都是独立的数学概念，等等，知其表不知其根。

       我在1971年，一次在合肥中国科技大学图书馆检索查阅文献时，查到一本苏联俄文原版，有关伽玛函数的数学专著，喜出望外， 借出后仔细阅读几个月，受到启发，茅塞顿开。从数学解析得知，国内外广泛应皮尔逊Ⅲ型函数、长办汇流曲线、华水汇流曲线、瞬时单位线等，均为同一类型的不完全伽马函数，属于同一个模型，相容相包。当时我在刊出的一篇文章中指出，我国一位专家在重要刊物上发表的论文，将这些方法认为是互为独立，因而对这些方法进行了精度分析，是概念问题，得出的每一方法误差，应该是相同的，不应该不同。

       当时因为水文汇流计算技术领域刚刚兴起“纳什瞬时单位线”热，这一新技术正在全国水平较高的单位试用摸索。当时认为，瞬时单位线S曲线为皮尔逊Ⅲ型函数，长江委几年前已由水文处李新铭利用布阿松分布计算出纳希瞬时单位线正整数的n、k汇流参数表，要计算非正整数的汇流参数表，由于数学障碍和计算工作量过大，而当时尚未研制成果电子计算器和内存更大，速度更快的计算机，只有速度较慢，操作又有点复杂的手摇计算机，所以一直未能如愿。我在进一步研究纳希瞬时单位线的数学推导过程时，其中使用的拉普拉斯卷积为伽玛函数，由此找到计算非正整数汇流参数的简便方法，利用手摇机械计算机，经过大量计算，1971年在尚未有电子计算机的情况下，得出了纳希瞬时单位线精确到一位小数的n、k新汇流参数表，在长江委和湖北省有关单位试用，受到欢迎。后来于1975年依据伽玛函数以及线性叠加，使用DJS一6国产电子计算机，获得了两位小数的长办汇流曲线和华水汇流曲线的汇流系数表，作为“中小型水利工程实用水文水利计算”一书的附录，被很多单位使用。该书很快售卖一空，不得不第二次印刷。

       作为水文水资源科技人员，对伽马函数不仅会应用，更要钻进去，加以改进，使其在更多流域发挥重要作用。