图  水流层流运动脱离体

 1  地表径流流速方程

  自然状态下的水流情况很复杂，为了便于说明问题，我们把复杂的情况进行简化。因为液体水在坡面上流动基本上是沿着大大小小的沟道顺坡而下的，具有自由面，可以利用最简单的水流层流运动来探讨地表径流流速与相关因子的函数关系。见图，ABCD是一个远离边壁的等速流中的脫离体，从图可以看出，重力沿坡度方向的分力为F₁:

   F₁＝ＳＨρｇ sinα                                      ﹙1﹚

  式中：

Ｓ－脱离体底面积；

     H－径流深度；

     ρ－水的密度；

 g－重力加速度；

α－坡度。

    由于土壤颗粒吸附一层吸附水，所以水流与地面之间的相对运动，可视为液体水之间进行的。水流之间由于相对运动产生的摩擦力为F₂：

    F₂＝τＳ

式中：

τ－切力；

Ｓ－脫离体底面积。

　 对于等速流合外力为零，所以沿水流方向的平衡方程为：F₁＝F₂

　　  即：τＳ＝ＳＨρg sinα

根据液体运动的牛顿内摩擦定律：

   ∵τ =ν

∴ν=ＳＨρg sinα

整理得：=ρg sinαＨdH

积分得：=ρg sinαＨ+C，  当Ｈ=0时，=0,则C=0，

∴=ρg sinαＨ                                 ﹙2﹚

式﹙2﹚为理想状态下推导出来的，对于不同的下垫面，为了使上式具有等式关系，应加一个修正系数X，即：

=XρgＨsinα                                     ﹙3﹚

分析式﹙3﹚，X、ρ、g为常数，变量为α和Ｈ。

对α和Ｈ取偏导数得：

a_α==kρgＨ cosα                              ﹙4﹚

a_Ｈ==kρgＨ sinα                                 ﹙5﹚

当α和Ｈ增加时，a_α和a_Ｈ的变化即加速度方向与速度方向一致，流速增大产生冲刷，而当α和Ｈ减少时，加速度变化方向与流速方向相反，水流流速降低产生淤积。

2 讨论

（1）应用数学微积分方法从理论上解释了地形坡度α变化、径流深度H变化与侵蚀和淤积的关系。

（2）合理解释了平原也能产生地表径流的原因。

（3）给定量分析水土流失方程开辟了新途径。