［转载］卫星导航系统（GPS）星钟的频率稳定问题

郭衍莹

（航天科工集团 2院203所）

卫星导航系统，如美国的GPS，俄罗斯的GLONASS，欧盟的伽利略GALILEO以及我国的北斗，本质上都是一种基于时间频率精密测量的航天系统。因为从卫星到用户的距离就是电磁波从卫星到用户所需时间乘以光速；或者说星钟和用户钟的时间差乘以光速。星钟和用户钟的稳定度直接影响到定位精度；所以人们称星钟是卫星导航系统的心脏。那么系统的星钟为何一定要用原子钟？用户钟为何可以不用原子钟？GPS星钟要不要修正相对论效应引起的误差？这就是有关GPS星钟频率稳定的三大问题。这三问题互相关联，弄清前二问题第三个就迎刃而解了。

一、卫星导航系统的星钟为何一定要用原子钟

根据GPS系统设计要求，由于星钟频率不稳定而引起的测距误差不得大于3m。按光速3×10⁸米/秒来计算，相当于时延10ns。但GPS的地面站每天至少要向卫星注入一次校频数据，所以只要求在一天内（86400秒）星钟的频漂不得大于3ns/86400≈10^-13。这就是对星钟频率稳定度（长稳或频漂，计量上称不确定度）的要求。10^-13是个什么概念呢？就是说每隔10¹³秒星钟误差不得大于1秒。因为一年有365天×86400秒/天＝3.14×10⁷秒，所以10¹³秒大约相当于10¹³÷（3.14×10⁷）≈300万年。也就是说300万年内星钟误差不得大于1秒。在目前只有原子钟可以达到这一要求，所以当前国内外导航星钟都要采用原子钟；而且不外乎铯钟、铷钟、氢钟三种。

这里简要介绍一下三种原子钟情况。其中铷钟体积重量最小，短期稳定度也很好，且造价最低。所以早期GPS的星钟都用铷钟。主要缺点是长期稳定度和老化率较差。铯钟长期稳定度非常好，1967年13届国际计量大会上把秒定义为“铯钟辐射电磁波周期的9192631770倍”（铯钟频率为9192631770Hz）。所以后来的星钟大都采用铯钟。铯钟最大短板是寿命受铯束管寿命的限制（约5年左右）。氢钟具有极好的频率稳定度（虽然在老化率方面比铯钟稍差），寿命也高于铯钟。但由于体积大，能耗大，造价高，长期来没能用于卫星。近年来技术上重大突破。所以最近几年国内外发射的导航卫星都采用氢钟，或者铯钟、氢钟双份原子钟。  

有读者问：GPS能否用于深空（外太空）导航？例如星际飞行可否利用GPS来指挥飞行器飞行，到其他星球上着陆和返航呢？应该说有可能! 实际上美国宇航局NASA已于2019年6月25日凌晨利用SpaceX的猎鹰重型火箭向太空发射了一个深空原子钟。据称它用的是“汞离子钟”，稳定度指标是2×10^-15，比GPS卫星上的原子钟精确50倍，即每1500万年误差只有一秒钟。离子钟是最有发展前景的新一代原子钟。大家知道美国原先有一台NIST-F2标准铯钟，稳定度为1×10^-16，既是美国的国家标准，长期来又是全世界现役的最高水平的原子钟。但到了2010年2月，美国国家标准局研制的“铝离子光钟”已达到37亿年误差不超过1秒的水平（即优于1×10^-17），后就成为当今世界最准的原子钟。

深空导航为何对原子钟提出如此苛刻的要求？这是因为深空原子钟离地面太遥远，它不能像目前的GPS系统可以通过地面控制站每天1至2次对星钟进行对时校频。所以要求它长能时间自主地保持时间、频率高度稳定。

美媒渲染，一旦基于深空原子钟的深空GPS系统建成，将彻底改变太空旅行的面貌。有朝一日，遨游太阳系会像坐公共汽车上班一样容易；而GPS就是太空警察。2019年美国太空军成立时特朗普曾宣扬，说建立深空GPS就是美国要占领未来太空战的最高制高点！不过特朗普下台已半年，这台深空原子钟仍下落不明。

二、用户钟为何可不用原子钟？

上面说过，从卫星到用户的距离就是星钟和用户钟的时间差再乘以光速。读者可能要问，用户钟是否同样也应用原子钟，以保证测距精度。不过如果要求用户人人带一台原子钟，卫星导航恐怕就很难推广了。问题的解决应归功于聪明的系统设计人员。他们采用“四星测伪距“法，使用户钟的大部分误差在“伪距差分”过程中被抵消掉。下面只用高中数学来推导和说明这一过程。相信绝大多数读者都能看懂。

理论上讲，地面用户的位置（经度、纬度、高度三坐标）只需用三颗卫星就可定位。但由于地面钟有误差Δt_u，除三坐标外多了一个未知数Δt_u，所以GPS采用“四星测伪距法”，（伪距是指测得的距离数据中有时钟误差和其他误差，非真实距离），可将此地面钟误差抵消掉，而不要求它与卫星钟“绝对”同步。

今假定用户用四星测伪距法测得的四个伪距为R1、R2、R3和R4（见下图）。这四个伪距除有真实的距离数据外还包括误差项。其中除Δt_u外，还包括其它误差，甚至原因不明的误差；例如下一节要讨论的“相对论效应“误差。假定Δt₀₁为1号星钟的其它误差。这样用户测出的从用户至1号卫星的伪距为：

R1=cτ₁+ cΔt_u+cΔt₀₁=［（X—X₁）²＋（Y－Y₁）²＋（Z－Z₁）²］^1/2 + cΔt_u+ cΔt₀₁  -------- -（1）

式中cτ₁项才是真实距离。显然对2、3、4号卫星，同样可写出类似（1）的方程式（2）、（3）、和（4）。

由于四颗星同时为某一用户服务（时间上稍有先后），四个Δt_u数据基本上应该都相等（稍有差别）。至于四个Δt₀，如果该项误差来自“相对论效应”，按相对论的说法，Δt₀只和卫星的速度、高度二个参数有关，因此对四颗星的此项误差值都应相等（下一节将进一步讨论）。这样在解方程式组过程中（也即伪距两两差分过程中）可将cΔt_u和cΔt₀二项抵消掉：

R1-R2=［（X—X₁）²＋（Y－Y₁）²＋（Z－Z₁）²］^1/2－［（X—X₂）²＋（Y－Y₂）²＋（Z－Z₂）²］^1/2

同理可得R2-R3和R3-R1。这样三个方程式正好三个未知数（X、Y、Z），达到精确定位目的。由此可得结论：

1、“四颗卫星伪距差分处理”大大降低对用户钟稳定度的要求。即使考虑到四颗星信号到达地面接收机时间有先后，在此时间段内误差Δt_u不可能绝对固定不变。地面钟误差就不能全部抵消。但只要此Δt_u值在四颗星信号到达期间没有明显变化，就可使误差控制在允许范围内。由于四颗星到达地面接收机时间的差别最大为20ms(相当6000公里)，而GPS系统要求，因这一因素而引起的测距误差也不得大于3m；即时延10ns。因此要求地面钟在20ms内频率稳定度优于10ns/20ms=5×10^-7，。这一指标用一般质量较高的稳度补偿晶体振荡器就可满足要求。

2、即使存在“相对论效应”，它也在“四颗卫星伪距差分处理”中抵消掉。我们无需专门对此误差项修正。下一节我们进一步探讨这一问题。

三、GPS星载原子钟要不要修正“相对论效应”误差？

稍有点相对论知识的读者都知道，当物体的飞行速度不断加速至接近光速（3×10⁵km/s）时，物体长度会不断变短直至零，重量会不断加大直至无限大，物体上的时间不断变慢直至“停顿”..。这些奇迹就是爱因斯坦提出的“相对论效应”。爱氏还给出变换因子(当v远小于c时此式近似为1-（v/c）²/2。即误差约为    （v/c）²/2。）。以现在的GPS论，它的卫星的飞行速度约为4km/s;虽然比光速还小很多，但已不可忽略（约光速10万分之一）。按狭义相对论的说法，时钟会走慢约（v/c）²/2；经计算一天约慢7微妙。广义相对论又说，地球是个重力场，地球引力会使时钟变化，称引力频移。而卫星和地面用户离地心距离不同，所受引力不同，会使二者的引力频移有差别，使卫星钟走快，误差约为GM/Rc²，此处G为引力常数；M为地球质量；R为卫星至地球地心的距离。经计算此项效应可使卫星上的原子钟每天比地面钟快约45μs。因此将二者合起来，每天应快45-7=38μs。

按照经典物理学的说法:GPS系统应对这种“相对论效应”进行修正。比较简便的修正方法是在卫星发射前先将原子钟的频率略微调低（大约调低4.5×10^-10），卫星上天后星钟频率就正好为标准值。如不加修正，则38μs的时间误差将造成距离误差10km。

不过一些“超光速物理”学者对这种效应持怀疑或否定态度。他们认为“相对论效应”，尤其是它的计算公式都是基于没经科学验证的假设。把它当作计算公式来解决精确的航天工程的问题，是不是太冒险了。

有位王令隽教授还提出的一个疑问。他说GPS不是号称适用于从地面至太空所有用户吗！但从公式看上述GPS相对论修正量只对地面用户有效；对飞船、火箭、导弹、低轨卫星等相对地面作高速飞行的用户，其修正值必然是另一组数据，且差别很大，需重新计算后对星钟进行修正。这显然有悖事实！目前世界上新武器用GPS来制导的很多（导弹、炸弹、炮弹…）。难道这些弹每发射一次都要请求GPS当局重新对星钟进行修正一次？而事实上这些导弹用户利用现有的GPS系统后情况一直很良好。所以他们认为，要对GPS进行相对论修正很可能是个伪命题。或者说并无其事。

GPS系统究竟是如何处理这一问题？其实读者从上一节已经明白，“相对论效应”即使存在，也已在伪距差分过程中抵消了。所以结论是：GPS由于采用四颗星伪距差分处理技术，无论“相对论效应”存在与否，无论GPS系统已进行修正与否，都不影响系统正常运行。

据说在历次GPS学术会议上，或我国一些学术代表团访问美国有关部门，当问及GPS是否要进行相对论修正时，美方的答复常常含糊其辞。比如已故童铠院士曾告诉我和乔石琼同志（当时我们二人应聘任新成立的导航所的技术顾问），他率团访问美国时，得到的答复是：“GPS官方文件从未说过系统调试需作相对论修正；也从未说过不需要作相对论效应修正。”童院士说：看来他们把这一问题看作是“小事一桩”！不像我国的学术界看得那么严重！

最后顺便答复网友提出的几个小问题：

1、有网友认为，星钟38微妙误差将造成10公里距离误差。这是由于不了解GPS采用伪距差分技术而产生的一种误解。如果四台星钟都有同样的38微妙时差，对系统一点影响都没有。

2、王令隽老师的疑问是否也可这样回答：GPS对用户钟的要求很低，10^-7即可。所以不管用户钟如何折腾（放在导弹上还是火箭上），都不影响系统正常工作。所以GPS的确适用于从地面至太空所有用户，只要用户种的频率稳定度优于10-7即可。