光的传播有几种重要的速度：相速度、群速度和信息传播速度。关于它们的区别，课本上已经讲得很好了，曹则贤老师在《物理学咬文嚼字》里也有一篇文章（附在后面），我就不讲了，简单说几个重点。

在真空中，这三个速度都等于光速，因为真空没有任何色散，折射率对于所有频率的光都是1。在非真空介质中，信息传播速度永远不可能大于真空中的光速，这是相对论的因果关系决定的，但是相速度和群速度并没有这个限制。相速度反映的是单色光的性质，而单色光只有一个频率，是无穷长的波列，是完全理想的情况；群速度反映的是多色光的性质，有不止一个频率，因而会形成拍频导致的波包。

单色光由$A\cos(\omega t- kx)$表示（省略了初始相位），相速度就是$v_p=\omega / k =c/n(\omega)$。

两个频率不同的单色光（为了方便起见，假设它们的振幅相同，都是1 ）可以用$\cos(\omega _1  t- k_1 x)$和$\cos(\omega _2 t- k_2 x)$，利用中学学过的三角函数关系，可以得到二者的和为

$2\cos(\frac{\omega _1 - \omega _2}{2} t-\frac{ k_1 -k_2}{2} x)\cos(\frac{\omega _1 + \omega _2}{2} t-\frac{ k_1 + k_2}{2} x)$

包括低频变化（包络）和高频变化（振荡）的两个部分，二者的相速度分别是$\frac{\omega _1 - \omega _2}{k_1 -k_2}$和$\frac{\omega _1 + \omega _2}{ k_1 + k_2}$。

如果两个频率相差不大，折射率的变化不是特别剧烈，那么，高频振荡部分的相速度接近于单色光的相速度，然而，低频包络部分的相速度却可以显著偏离于单色光的相速度，这就是“群速度”。

如果光的频率均匀地分布在一小段区间里，当然可以用积分来求和（结果是$\sinc$函数），但同样可以用中学的三角函数关系来理解：以平均值为中心，两两对称地选出单色光的对子求和，高频振荡部分的相速度都等于平均频率处的相速度，而低频包络部分的相速度（“群速度”）等于$\frac{\Delta \omega}{\Delta k}$，在很小的区间里，这个值其实就是平均频率处的斜率，并不依赖于$\Delta \omega$的大小。

如果考虑波矢$k$对$\omega$依赖关系的二阶导数，就会发现$\sinc$函数变成了高斯波包，具体计算无法用中学数学来理解，但是对于高等数学来说，仍然是很简单的，这里就不讲了。

真空的折射率是1，非真空介质的折射率可以大于1（通常都是这样的），也可以小于1（比如在适当的原子气系统里），甚至还可能是负数（通常是针对一些特殊的频率波段，例如微波，这些研究大多属于最近二十年非常热的变换光学领域）。最后这个只能是提一下，说是有这么回事情，具体情况这里讲不来的。

曹则贤

物理学咬文嚼字之九十八：Phase：a phenomenon

《物理》2018 Vol. 47 (5): 332-340

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