我觉得我还可以再抢救一下

好久没有写关于计算方法的博文了，原因如下：

基本上讲完了。对于大学非数学专业的计算方法课程来说，只剩下三部分的内容了，矩阵的特征值和特征向量，有限差分法，有限元方法。

数学知识不够。理解这些内容，需要更多的数学知识，比如说，一些线性代数和泛函分析的基本知识。

真讲的话，要写好些数学式子，太烦了，再说也没有人对此感兴趣——随便找本标准的计算方法教材就可以了。

但是，为了在形式上做到有始有终，还是稍微讲一下这三部分内容的要点吧。

矩阵的特征值和特征向量

$n\times n$的矩阵$A$和一个$n\times 1$的列向量$b$相乘，结果还是一个$n\times 1$的列向量，记为$c$。可以认为，$b$和$c$是$n$维向量空间里的两个矢量，通常指向不同的方向。但是，如果运气特别好的话，$b$和$c$就有可能指向同一个方向，换句话说，它们俩是线性相关的，$c=\lambda b$，其中$\lambda$是一个实数。在这种情况下，$\lambda$和$b$就是矩阵$A$的本征值和本征向量，它们对于研究$A$的性质非常重要。

很多物理问题，都可以归结为求某个$n\times n$矩阵$A$的本征值和本征向量，也就是说，求解所有满足$A x_i=\lambda_i x_i$的解$ x_i$和$\lambda_i$。通常有$n$个本征值和本征矢量（要求矩阵的“秩”等于$n$，另外，本征值$\lambda_i$有可能相等）。因为矩阵乘法依赖于顺序，所以还有左（右）本征值和本征向量的问题。

对于实对称矩阵，可以用雅克比方法求出所有的本征值和本征矢量。这个算法的实质在于，每次在$n$维空间中选择一个二维平面做适当的转动变换，就可以消除一对非对角元（使之等于零）。重复这个变换，只需要有限次就可以把实对称矩阵变为对角矩阵，也就给出了$n$个本征值，而每次转动的变换矩阵的乘积是$n\times n$矩阵，它的列向量给出了$n$个本征矢量。

对于一般的矩阵$A$，可以用迭代法$x_{n+1}=A x_n$求得绝对值最大的本征值（这个本征值不能是简并的）。如果采用矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$，迭代法可以给出绝对值最小的本征值（同样不能是简并的）。由此你就可以求出所有的本征值，因为接下来可以考虑$n$维空间去除了本征矢量$x$以后剩下的$(n-1)\times(n-1)$维空间里的本征问题。有一些技巧可以加速迭代过程，但是来不及在这里讲了。

有限差分法

我们知道，微分是差分的极限（是无穷小的差分），可是有时候，用有限差分方程来替代微分方程，更容易得到结果——虽然有误差，但是现实世界的任何问题都有误差，而且这个误差是可以精确估计的。

举个例子吧。假设我们要求解二阶微分方程

$\frac{d^2 y}{dx^2}=f(x)$

其中$f(x)$是已知的，$a<x<b$。如果知道$y(a)$和$y’(a)$的值，这就是常微分方程的初值问题，以前介绍过了。如果知道$y(a)$和$y(b)$的值，这就是边值问题，可以用有限差分法来求解。

先说一下，边值问题可以用射箭法来求解：随便给$y’(a)$假设一个值，就变成了初值问题，数值求解得到$y(x)$，如果$y(x)$在$b$处的数值等于前面给出的边界条件$y(b)$，那么这个问题就解决了。如果不等于，那就再猜一次，直到二者相等为止。

有限差分法是把区间$[a,b]$分成$n$等分，$x_i =a +i h$，其中$h=(b-a)/n$。用二阶中心差商代替二阶微分，即

$\frac{d^2 y}{dx^2} |_{i} = [y(x_{i+1})-2y(x)+y(x_{i-1})]/h^2$

这样就可以把微分方程变成$n$个线性方程组，$n-1$个方程有$n-1$个未知数（其实就是区间$[a,b]$里的$n$个等分点上的函数值$y(x_i)$），可以用标准的方法求解（比如说，追赶法）。

这种方法可以推广到二维乃至更高维的问题，直接但是有些繁琐，而且还要考虑收敛性和稳定性的问题，我就不再说了。

有限元方法

有限元方法是强有力的数值计算方法，它的基础是变分原理和剖分插值，它的应用非常广泛。差分法只考虑函数在有限个点上的数值，而有限元方法考虑的是函数的分段近似。然而，我不能用几句话把有限元方法讲明白，只好先闭嘴了。