靡不有初，鲜克有终。

大学课本里的问题（不管是例题还是习题），大多是几十年乃至几百年前的问题。时代变了，解决问题的思想和原理可能还没变，但是相应的技术和方法却变了很多。比如说，力学只是求解二阶微分方程而已（牛顿第二运动定律），以前追求解析表达式、各种微扰展开，因为那时候不能做太多太繁琐的计算工作。随着计算机的发明和计算能力的突飞猛进，现在处理实际问题时主要依靠数值解法。所以，有必要对此有些了解，我们这个计算方法系列就再拿常微分方程的初值问题做个例子吧。

问题很简单，就是求解一阶微分方程$y'=\frac{dy}{dx}=f(x,y)$，实现知道函数$y$在某个位置处的初始数值$y(x_0)=y_0$。知道加速度（或者力）求速度，知道速度求位移，都可以归结为这种问题。

如果$f(x,y)$的形式很简单（比如，不显含$x$或$y$，或者可以表达为$g(x)h(y)$的形式，或者通过变量代换变成这种简单的形式，等等），通常是可以求得解析表达式的。但是解析表达式的计算并不一定就简单，在很多情况下，甚至不可能求得$y$的解析解，就用一系列离散的数值$(x_i,y_i)$（其中$i=1,2,3......$）来近似地表示$y$。对于等间隔选取的$x_i$，就有$y_i=y(x_i)=y(x_0+ih)$。

我们知道，在$x_i$处有泰勒公式，$y_{i+1}=y_i +y'(\xi)h$，其中$x_i<\xi<\x_{i+1}。关键在于找到$\xi$，这里有很多选择，也就有了很多不同的算法。

最简单粗暴的方法就是选择$\xi=x_i$，那么$y_{i+1}=y_i +y'(x_i)h=y_i +f(x_i,y_i)h$。注意到$x_0$处的初值和导数都是已知的（分别为$y_0$和$f(x_0,y_0)$），自然就可以得到下一个位置的数值$y_1=y_0+f(x_0,y_0)h$，以及相应的导数$f(x_1,y_1)$（这就是由0而1）。接下来可以求出下一个位置，由1而2，由2而3，以至于无穷。这就是欧拉法。

也可以选择$\xi=x_{i+1}$，即$y_{i+1}=y_i +y'(x_{i+1})h=y_i +f(x_{i+1},y_{i+1})h$。这就稍微麻烦一些，因为导数依赖于待求的数值$y_{i+1}$，所以这时需要求解关于$y_{i+1}$的函数方程，但是可以做到的。这也是欧拉法，称为隐式的欧拉法，上面那个自然就是显式的欧拉法。

上面两种方法各有侧重，一个用了前端值，一个用了后端值，完全可以再公平一些嘛——采用二者的平均值来近似导数值，进而得到微分方程的解。这就是改进的欧拉法，具有预估校正系统的欧拉法。具体地说，先用前端值算出一个预估值$y_p=y_i+f(x_i,y_i)h$，再用这个预估值算出一个新值$y_c=y_i+f(x_{i+1},y_p)h$，最后取二者的平均值，作为下一个位置上的函数值$y_{i+1}=(y_p+y_c)/2$。

还可以选择$\xi=(x_{i+1}+x_i)/2$，这相当于把分区加倍了。还是换种方式来说吧。考虑$y'(x_i)=(y(x_{i+1}-y(x_{i+1})/2h$，就可以得到$y_{i+1}=y_{i-1}+f(x_i,y_i)2h$。注意，这里需要附加条件，因为从0开始直接就蹦到2去了，必须先想办法得到1的值才行。以后的每次计算也都涉及此前两个位置的数值。这还是欧拉法，所谓的两步格式的欧拉法。这个方法当然也可以用预估矫正系统来改进。

如果函数$f(x,y)$具有更好的性质（欧拉法通常只要求函数连续，且满足所谓的Lipschitz条件），就可以更好地估计导数值，从而得到更好的算法——这就是龙格-库塔方法（Runge-Kutta）的精神。具体地说，令$y'(\xi)=\sum _i \lambda _i K_i$，加权系数$\lambda _i$满足归一化条件$\sum _i \lambda _i=1$，而$K_i$一些导数的预估值。有一套具体的方法来选择这些预估值和加权系数，使得计算结果的截断误差达到最小，任何标准的计算方法教材都可以找到，这里就不介绍了。这里只需要指出两点：

首先，经典的龙格-库塔方法是一种常用的四阶方法，具有很高的精度，其形式为

$y_{i+1}=y_i+(K_1+2K_2+2K_3+K_4)h/6$

$K_1=f(x_i,y_i)$

$K_2=f(x_i+h/2,y_i+K_1h/2)$

$K_3=f(x_i+h/2,y_i+K_2h/2)$

$K_4=f(x_i+h/2,y_i+K_3h)$

其次，龙格-库塔方法要求函数$f(x,y)$具有很好的光滑性，如果这个条件不能满足，其得到的结果甚至可能还不如改进的欧拉法。

龙格-库塔方法的精度很高，但是需要多次计算导数值，有些麻烦（就是说计算量大）。计算了$k$个数值后，如果能够把这些数值充分利用起来，第$k+1$个数值就可能估计得更精确——这就是线性多步法的精神。具体地说，就是用前面的导数值来估计当前的导数值，$y_{i+1}=y_i+[\sum _k \beta _k f(x_{i-k},y_{i-k})]h$。四阶显式（Adams格式）是$y_{i+1}=y_i+[55y'_i-59y'_{i-1}+37y'_{i-2}-9y'_{i-3}]h/24$，

其精度为$h^5$。这种方法当然也有隐式和改进的格式（预估校正），还有其他变种，如Simpson格式、Milne格式和Hamming格式等，就不一一介绍了。

能解一阶微分方程，自然也就能解高阶微分方程，能解单变量的微分方程，自然也就能解多变量的微分方程（也就是偏微分方程）。只需要注意到，$n$阶微分方程可以变量代换表示为$n$个一阶微分方程（要点在于把$y'$视为与$y$无关的独立函数$z=y'$，更高阶的导数也是如此），而$n$变量的偏微分方程，只需要暂时把其他$n-1$个变量视为不变量，就成了单变量的微分方程。这样，问题就归结为$n$个一阶微分方程构成的微分方程组了。

至于说这些计算方法的适用条件和计算精度，都需要进一步的分析，难倒是不难，就是有些繁琐，随便哪本书里都有的，我就偷个懒吧。