原来这戴院长有一等惊人的道术，但出路时，赍书飞报紧急军情事，把两个甲马拴在两只腿上，作起神行法来，一日能行五百里。把四个甲马拴在腿上，便一日能行八百里。因此人都称做神行太保戴宗。

谈谈风阻。高速运动的物体，其阻力主要来自于风阻。

风阻大致有两部分，一个是正面推开空气，一个是侧面拉动空气。前者比较容易理解，后者涉及边界层，有些麻烦，以后再说吧。

假设物体的截面积$S$（为了简单起见，假设截面是半径为$r$的圆形），速度$v$，空气密度为$\rho$。单位时间里推开的空气体积是$ S v$，空气被推开的速度大致是$\alpha v$（风阻系数），风阻就是$\approx \alpha \rho S v^2$。

怎么降低风阻系数呢？很简单：你把空气往前推，给它的速度就大；你把空气往侧面推，它的速度就小。所以，圆柱体车头就比圆锥体的风阻大得多。对于锥顶角为$2\theta$的圆锥体，$\alpha \approx \sin \theta$。所以，火箭头就很尖。

那么，是不是越尖越好呢呢？也不是。因为还有边界层的阻力。车头越尖，边界就越长（$r/\sin \theta$），所以，总的风阻大约是$\alpha \approx c_1 v^2 \sin \theta + c_2 v /sin \theta$，有个最佳角度$\theta \propto \sqrt{v}$。从静止出发到最大速度的过程中，最佳角度是变化的，必须权衡整个过程，才能得到更好的设计。赛车、高铁、飞机和火箭的头部差别，主要来自于此。

单从正面风阻的角度来考虑，圆锥头是不是最好的呢？换句话说，对于半径为$r$、高度为$h$的旋转对称体，什么样的形状最好。

首先，可以证明，圆锥体不是最好的。把锥体分为两部分，前半部分的锥角大一些，后半部分的锥角小一些。在$h/2$处，底半径变为$r/2+\delta$。简单的微分计算可以表明，总的风阻会略微下降。原因很简单，前半部分只占总面积的四分之一，后半部分则是四分之三，后者风阻的减小量足以补偿前者的增加量。

那么最优形状是什么呢？假设旋转对称体的构成曲线是$y(x)$，其中$x$是对称轴方向的度量。风阻就正比于$\int dy \ 2\pi y \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} = \int dx  \frac{\ 2\pi yy'^2}{\sqrt{1+y'^2}}$。好了，这是一个简单的变分问题（力学教学笔记之变分法）。

$F(y,y')= \frac{ yy'^2}{\sqrt{1+y'^2}}$。根据拉格朗日$F'_y - \frac{d}{dx}F_y'=0$，就可以得到最佳形状满足的曲线方程。可惜的是，$F(y,y')$的形式有些复杂，不能给出简单形式的解。

风阻小的锥体都满足$h \gg r$，即$y' \ll 1$，可以把$F(y,y')$近似为$F(y,y')\approx  yy'^2$，就能得到拉格朗日方程为$y'^2=\frac{d}{dx}(2yy')$，由此可以得到$y= r \sqrt{x/h}$，这就是抛物线。所以，风阻最小的曲面就是旋转抛物面。

但是，这个曲线不可能是全局最优解，因为当$x = r^2/h$的时候，$y= r^2/h$，也就是说，$y' \sim 1$，不满足$y' \ll 1$的条件了。

考虑$y' \gg 1$的情况。此时，$F(y,y')\approx  y(y'-1/2y')$，拉格朗日方程为$y'^2=\frac{d}{dx}(2y(1+1/2y'^2)$，由此可以得到$y”=y'(1+y')$，最终得到$y=cx-(c+1)^2x^2$。

如果能够得到$y' \sim 1$时的解，就可以把这三个解拼接起来。可惜做不到。数值解当然可以，但是讲起来太麻烦——真做起来应该不难的。把刚才的两个极限情况下的解拼接起来，也是一个办法。

实际上，并不需要这样。毕竟这就是个模型，算得那么准确也没意思。在《原理》里，牛顿直接把旋转抛物面的顶部切掉了。切在什么位置最适合？应该也不难，但是我懒得算了。当然，牛顿不是算的，人家是用几何方法证明的——具体怎么证明的，我也懒得看。

顺便说一下，牛顿证明了，球的阻力仅为相同半径的圆柱体的阻力一半——用的还是几何方法。微积分的方法其实很简单的：$x=r\cos \phi$，$y=r\sin \phi$，所以，积分$\int dx \frac{ y y'^2}{\sqrt{1+y'^2}} = \int d\phi \cos ^3\phi $。

最后，再说一个简单的估计方法。中学里我们学过，两个等质量物体碰撞后，二者完全交换动量，原来以速度$v$运动的物体停下来，原来静止的物体以速度$v$运动。如果没有额外的动力，当物体排开与等质量的气体后（还应该除以风阻系数），就会停下来——数量级是正确的。

当子弹射入水里的时候，用不了多远就伤不了人了，因为水的比重大约是铜的十分之一，比空气大多了。当距离大于弹头长度的10-100倍时，子弹就没有杀伤力了。所以，射鱼枪更适合在水下使用，因为它很长。严格地说，水是不可压缩流体，上面的估计并不适用——超音速运行的飞机或者火箭也是如此。当速度大于空气中的声速时，会出现“声障”，因为此时的空气是不可压缩的。