何不策高足，先登要路津。

有一个常见的问题：走过一块麦田，挑选出最大的麦穗。条件是你只有一次机会，不能走回头路，选了以后也不许换。标准的麦穗选择法是：在三分之一的路程里观察，看看最大的麦穗有哪些特征；在接下来的三分之一路程里，验证并修正刚才总结的规律；在最后三分之一路程里，根据这个规律选择最好的结果。

麦穗的选择更多是个策略问题，而不是取样问题。取样通常只是这里的观察阶段，而且你也不可能想采样多少就采样多少——采样也是要考虑成本的。

为了简单起见，假定我们需要采样的区间在-1和+1之间（即$x \in [-1,1]$）。

如果你的测量完全是靠天吃饭（比如说引力波的测量），那就没什么好说的了，把你的测量系统搞好，耐心等待就是了——尽人事以听天命。

如果测量工作只依赖于你自己，而且完全不考虑成本，就可以随机采样，随机地找一个$x$，测量那里的$y$，然后再随机地找下一个$x$、测量下一个$y$，重复这个过程，直到你没有耐心为止。

如果想节省一些时间，减少后期处理数据的麻烦，可以采用等间距取样（比如说，每隔0.1测量一次），然后用插值的方法猜测其他的$y$值。

既然考虑用插值法来省事了，那就干脆省事到底吧。怎么才能既省事又不误事呢？省事好说，测量的次数越少，就越省事；不误事就是说别偷懒，动动脑子，选择最好的位置，使得取样值尽可能反映整个区间的性质。话是这么说，但是究竟怎么做呢？

如果你只能测量一次，而且事先对采样区间没有更好的了解，那么，最佳采样点显然就是0这个位置——不偏不倚，允执厥中。

如果你有钱测两次，就要费些神了。0是肯定不能用了，这两个位置应该相对于0是对称的，但也不可能选择-1和+1，因为这样做显然太看重边界了。选择-0.5和+0.5显然更好一些，因为每个位置都照顾了一半的区间，但是仔细分析，就会觉得还是有改进的余地：-1和+1都有一个位置可以照顾到，而0却被两个都关注了，这样的厚此薄彼，真的好吗？

当采样次数更多的时候，需要考虑的事情就更多了，分析起来也就更麻烦。能够确定的是，取样点关于0应该是对称的（如果取样次数是奇数，0这个位置是一定要用的），采样的间隔大致是等间隔的。其他就不好说了。

换个方式来讨论这个问题。

假设待测量位于$ [-1,1]$区间，具体形式是已知的，即$y=f(x)$。这个函数可能很复杂，我们想用简单的函数来描述它。怎么办呢？最简单的函数就是由$x$的各种幂函数构成的多项式了，可以用$x$的多项式来描述任何函数。

这个问题有个正式的名称，叫作函数的最佳逼近。有个数学定理说，对于任何连续函数$f(x)$，都可以用一个多项式$P(x)$来逼近，使得二者的差别$|f(x)-P(x)|$小于某个任意给定的数值（Weierstrass定理）。也就是说，只要你愿意，总是可以用多项式来逼近任意一个连续函数的。

可以这样来理解。如果你想描述$f(x)$和某个多项式$P(x)$的差别，最好是能够定量地描述这种差别，也就是说，给它打分（你看，这跟用影响因子来衡量学术期刊的水平是一个道理）。打分的依据是什么？就是$\int (f(x)-P(x))^2dx$。这个积分衡量了两个函数在整个区间上的差别，这个值越小，二者的符合就越好，$P(x)$对$f(x)$的逼近也就越好。因为$\int (f(x)-P(x))^2dx=\int f^2(x)dx +\int P^2(x)dx -2\int f(x)P(x)dx$。

最简单的多项式是常数多项式$P_0(x)=1$。计算出$\int f(x)P_0(x)dx =\int f(x)dx = 2 c_0$（出现2是因为积分区间是$ [-1,1]$），那么，此时的最佳逼近函数就是$P(x)=c_0P_(x)=c_0$。也就是说，这个函数可以用常数$c_0$描述。

想要做得更好一些，就要用下一个简单多项式了，$P_1(x)=x$。计算$\int [f(x)-c_0P_0(x)]P_1(x)dx=\int [f(x)-c_0]xdx=\frac{2}{3}c_1$（$2/3$来自于$\int x^2 dx$），那么，此时的最佳逼近函数就是$P(x)=c_0P_(x)+c_1P_(x)=c_0+c_1x$。多了一个线性项。

也许你已经猜到了，接下来的多项式应该是$x^2$了。计算积分$\int(f(x)-c_0-c_1 x)x^2 dx$，就可以得到相应的系数了。基本上对了，但是要做一些修正，真正用的多项式是$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$。原因是这样的，做积分的时候，我们不想每次都要减去以前的各种近似多项式，而是只计算$\int f(x)P_2(x) dx$，最简单的方法就是恰当地选择$P_2(x)$，使得它和低阶多项式的积分为零。

采用类似的方法，可以用更高阶的多项式来逼近。例如，$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$，$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$，等等。具体形式的选择依据是保证这些多项式是正交的，也就是说，只要$i\neq j$，就有$\int P_i(x)P_j(x)dx =0$。对于$i=j$，有$P^2_i(x)=\frac{2}{2i+1}$。

这些正交多项式$P_n(x)$就是著名的勒让德函数，利用它们可以逼近任何的连续函数，即$f(x)\approx c_0+c_1x+c_2(3x^2-1)/2+\cdots =\sum _i c_i P_i(x)$。

某些函数看起来很像一些特殊的函数，例如$(1-x^2)^{-1/2}$、$e^{-x}$或者$e^{-x^2}$，那么就可以把它们表示为$f(x)=(1-x^2)^{-1/2}g(x)$，然后集中研究$g(x)$的性质。这时候，需要引入其他种类的正交多项式，例如车比雪夫多项式、拉盖尔多项式或者厄密多项式。

兜了一大圈，我们还是继续讨论如何取样吧。

我们的问题是，在区间$[-1,1]$里选择$n$个位置取样，怎样才能达到最好的效果？上面的正交多项式逼近是一种方法，但是它需要知道整个区间上的函数值，其实是马后炮。为了不当事后诸葛亮，考虑这样一种判据：选择的$n$点取样能够最好地给出$y=f(x)$在区间$[-1,1]$上的积分值，这就是高斯积分问题。

$n$点取样就是得到$n$组$(x_i,y_i)$，由此可以构造一个$n-1$次多项式$g(x)$（采用拉格朗日插值法），使得$g(x)$的积分尽可能地接近$f(x)$的积分。也就是说，$\int f(x) dx = \sum_i A_iy_i$。关键在于选择哪些$x_i$。

对于拉格朗日插值法，$f(x)-g(x)$正比于$\prod _i (x-x_i)$（稍后再解释具体含义），选择$x_i$使之成为$n$次正交多项式的零点，就可以让二者的差别（在积分的意义上）尽可能地小：$w(x)=\prod _i (x-x_i)$是个$n$次多项式，还是正交的$n$次多项式，它和任意的$n-1$次多项式（以及更低的次数）都是正交的。

换个方式来看，对次数不大于$2n-1$的多项式$f(x)$进行因式分解，$f(x)=q(x)w(x)+r(x)$，乘式$q(x)$和余式$r(x)$的次数都不大于$n-1$。$\int f(x)dx =\int q(x)w(x)dx +\int r(x)dx = \int r(x) dx$。因为$n$取样的位置$x_i$已经确定了，就可以选择权重$A_i$使得$\int r(x) dx = \sum_i A_iy_i$对于所有的$n-1$次多项式都成立。也就是说，$\sum_i A_ix^k_i = B_k$，其中$B_k =\int x^k dx$是已知的数值。这就是包含$n$个未知数$A_i$的$n$个线性方程组，就可以求出每个$A_i$了。

总而言之，恰当地选择$n$个取样点，能够让积分达到$2n-1$次的代数精度：只要多项式$f(x)$的次数不大于$2n-1$，$\int f(x) dx = \sum_i A_iy_i$就是精确的。正确的位置（高斯点）就是$n$次正交多项式的零点。如果你随便选择取样点，通常只能达到$n$次的代数精度。

高斯积分的选点就像人生道路的选择，正确的选择可以帮助你多快好省地实现目标。