郭玉娘道:“我总认为世上有两种人是绝不能不提防的。”

“哪两种人?”

郭玉娘道:“一种是运气特别好的人,一种是胆子特别大的人。”

——古龙《七种武器·多情环》

圆形轨道A和B具有共同的引力中心M（左图），火箭从轨道A转移到轨道B，最节能的方式是什么？

博文《谈谈霍曼转移》说过，两次变轨的最佳方式利用与椭圆轨道C（右图，它与两个圆轨道A和B都相切），而且在我这样搞物理的人看来，这种方式是显而易见的：火箭具有初始的方向，而动量的变化也有个方向，最终的结果显然取决于这两者的相对方向。对于能量来说，二者同向时的变化最大（动能是速度的平方项）；对于角动量来说，也是二者同向时的变化最大。那么显然就应该让动量的变化沿着初始速度的方向，也就是说，动量的变化方向沿着初始圆轨道的切线方向。

搞数学的人却不这样看，谢力老师在《那个天才告诉你“霍曼转移”最优》里讲了那么多话，为什么？一个原因是，需要考虑非相切的椭圆轨道D（左图，与大圆轨道D相切，与小圆轨道A相交）。也就是说，右图中的C和D这两种轨道，并不能先验地认为C就一定比D好。谢力老师说，此前没有人严格地证明了C是最优解，比任何的D都好。

大家的结论是一样的，都是转移轨道C是最好的，区别在于搞物理的认为这根本就不用证明，而搞数学的觉得，这并不是显然的。

两个圆轨道上的运动速度是确定的。因为万有引力提供了圆周运动的向心力，$GMm/r^2=mv^2/r$，所以，$v=\sqrt{GM/r}$。

椭圆轨道的参数取决于火箭第一次加速后得到的速度增量（沿着圆轨道切线方向的速度增量为$v_1$，垂直于圆轨道的速度增量为$v_2$），到达大圆轨道时，沿着大圆轨道切线方向的速度由角动量守恒决定（因为这是有心力场），$v'_1=r_A(v_A+v_1)/r_B$,而垂直于大圆轨道的速度由能量守恒决定，最小值是0，也就是椭圆轨道与大圆轨道相切（注意，如果第一次加速后的速度增量不够的话，椭圆轨道是碰不到大圆轨道的）。这时候，第二次加速使得火箭速度达到$v_B$。所以，两次加速的速度总变化量是

$v_1+[v_B-r_A(v_A+v_1)/r_B]+v_2=v_B-r_Av_A/r_B +v_1(1-r_A/r_B)+v_2$

搞物理的认为，$v_2$显然为零，那么$v_1$就是确定的，根本就没有优化的问题；搞数学的认为，把$v_1$减小一点，让$v_2$不等于零，还是有可能让整体数值下降的。

用图像的方式再说一遍（图2的右图）。搞物理的认为，C轨道最佳，这对应着唯一的角动量：因为它与小圆轨道A相切，角动量小了，就碰不到大圆轨道，角动量大了，又会和大圆轨道相交。搞数学的说，角动量小了，确实是椭圆轨道也小，但是你可以沿着径向方向推它一下，还是有可能让它与大圆B相切的，这就是D轨道。

这个问题有点让人纠结的是，第一次的速度增量看起来有可能比切向最佳速度增量大（虽然它的切向分量必须小于最佳速度增量）。我是不会纠结于这一点的（因为速度增量在切线方向对能量和角动量都有利），但是谢老师他不这么认为，所以他要严格地证明。

当然，我也可以证明切向加速是最优的。我不觉得这个证明有什么特别的地方，只是有些繁琐而已。也许霍曼没有给出这个证明，也许以前没有人给出严格的证明，但是在我看来，在像我这样搞物理的人看来，根本就不需要证明啊。如果一定要证明的话，我们也是可以做到的——虽然并不是第一个做到的。

关于两次变轨的霍曼转移问题，就谈这么多了。下面再谈谈所谓的三次变轨问题。也就是说，如果能点火三次，是不是有可能得到更好的结果（用更少的能量实现变轨）？采用简单的物理图像就可以说明，在某些条件下是能够做到的。当然，如果你要我给出严格的证明、数学意义上的证明，我一定会拒绝的——也许是我做不到，也许是我根本不在意，我不觉得这有什么特别的意义。

在微信群里谈论这件事的时候，我对谢力老师说过这样的话：

只要我愿意，我就能自己证明——我为什么要看别人的证明？我根本不觉得这个证明重要。如果你的证明是存在一个不平凡的解，那我就会很吃惊，我会认真检查我自己的知识框架，并做修正。可是很不幸，情况并不是这样的。

你最不利的地方在于：你证明的最佳值碰巧跟大家猜的解是一样的。否则的话，大家就会更在意这个的了。就跟变分法一样。如果变分法只能证明两点之间直线最短，大家也不会把他当回事，但是它碰巧证明了最速降线，不是谁随便猜就能猜出的结果。

我现在仍然保持这样的看法，但是我承认，第一次变轨时的速度选择（方向和大小）确实有让人纠结的地方。

如果没有出人意料的例子，再漂亮的定理也不会引人注目。生活从来就是这样：就算你本事再大，也需要有运气碰到合适的问题才行。

有的人天生勇敢，有的人天生机敏，但却都不如天生就幸运的人。

——古龙《七种武器·碧玉刀》

谈谈霍曼转移

http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1123028.html   

谢力：那个天才告诉你“霍曼转移”最优

http://blog.sciencenet.cn/blog-669170-1123761.html 

两次变轨的霍曼转移最优化问题

http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1126693.html 

三次变轨的霍曼转移最优化问题

http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1126698.html