还是物理图像更方便

两次变轨并不是最节省能量的转移方式，在有些条件下，三次变轨可能更好些：先在小圆轨道A上进行切向加速，进入椭圆轨道F，在远地点Z处进行第二次加速，进入椭圆轨道F’，后者与大圆轨道B相切于近地点E。这种方式显然需要更多的时间来完成轨道转移任务（轨道运动周期正比于半长轴的3/2次方，而且它要走两次）。

图1、三次变轨的霍曼转移问题

这种方法为什么有效？原因很简单：因为有心力场中的轨道角动量守恒，所以，远地点速度的微小变化，可以转变为近地点速度的很大变化。我们从物理图像出发来讨论这个问题，因为在搞物理的看来，最有效地使用燃料的方式显然是沿着切线方向加速。

取小圆轨道的半径是1，大圆轨道的半径是$r$，椭圆轨道F和F’的远地点距离都是$x$，近地点距离分别是1和r。

对于两次变轨的霍曼转移轨道，两次变轨的速度变化量分别为$\sqrt{\frac{2r}{1+r}}-1$ 和$\sqrt{\frac{1}{r}}-\sqrt{\frac{2}{r(1+r)}}$。

对于三次变轨的霍曼转移轨道，两次变轨的速度变化量分别为：第一次变轨（S点）是$\sqrt{\frac{2x}{1+x}}-1$；第二次变轨（Z点）是$\sqrt{\frac{2r}{x(r+x)}}-\sqrt{\frac{2}{x(1+x)}}$；第三次变轨（E点）是$\sqrt{\frac{1}{r}}-\sqrt{\frac{2x}{r(r+x)}}$。需要注意的是，前两次的速度变化量都是正数，而第三次变轨的速度变化量可能是负数（依赖于$r$和$x$的具体数值）。

所以，两次变轨的速度变化量是一个常数，而三次变轨的速度变化量依赖于$x$,其最佳值有可能小于两次变轨的结果——如果你把$x$取为1或者$r$，就还原到两次变轨问题了。

对于特定的$r$，三次速度变化总量是单变量$x$的简单函数，求出其极小值位置，与两次速度变化总量进行对比，就可以确定二者哪个更好一些。

为了简单起见，我们只考虑$1\ll r\ll x$的情况。此时，二次变轨的速度变化总量近似为$(\sqrt{2}-1)+\frac{1}{\sqrt{r}}$；三次变轨的速度变化总量近似为$(\sqrt{2}-1)+\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{r}}$（第三次变轨是负号）。显然，后者可以小于前者。注意，第一项的$(\sqrt{2}-1)$对应于把小圆轨道推进到抛物线轨道的速度增量。

所以，采用三次变轨的霍曼转移轨道，有可能节省一些能量（仅对特定的$r$，具体数值应该可以在标准课本里找到——反正我是懒得算了）。

PS:谢力老师说，$r$介于大概10到16之间的时候，三次变轨就会有更好的解（转移轨道是有限大小的椭圆），大于16的时候，任何足够大的椭圆都可以有更好的解。