数学计算真是麻烦啊

圆形轨道A和B具有共同的引力中心M，火箭利用转移轨道C从轨道A转移到轨道B（图1左图）。一般性的转移轨道是椭圆C，椭圆C与轨道A和B的交点分别是S和E。椭圆C的近地点位于A以内，远地点位于B以外，因为从近地点到远地点，椭圆轨道上的点到其焦点M的距离是单调变化的。

转移轨道需要改变火箭的速度，改变速度需要消耗燃料，火箭变速前后的质量比是$M/M'=\ln \Delta v /v_0$，其中$v_0$是火箭燃料的喷射速度。由此可知，两次变速后的质量比是$M/M”=\ln (\Delta v1+ \Delta v2)/v_0$。霍曼转移问题就是想把这个值尽可能地减小，也就是说，让$\Delta v1+ \Delta v2$达到最小，其中$\Delta v1$和$\Delta v2$分别是第一次和第二次变轨时的速度变化量。

结论：转移需要能量，耗能最低的椭圆轨道与圆A和B都相切（图1右图）。

图1、两次变轨的霍曼转移问题（左）及其最优轨道（右）

证明如下：

转移轨道C与大圆轨道B相切。如果二者相交于E，垂直于大圆轨道B的速度分量不为零，减小这个纵向分量（保持切向分量不变），椭圆轨道将收缩。这个过程可以一直持续下去，直到纵向分量为零——转移轨道C与大圆轨道B相切（图2）。

图2、与大圆B相切的霍曼转移轨道

为简单起见，取小圆轨道的半径是1，大圆轨道的半径是$r$，火箭的质量$m$以及与引力有关的参数$GM$都当作1。椭圆轨道的近地点距离是$x=1-\delta$，远地点距离是$r$。

根据万有引力等于向心力，可以得到小圆轨道的速度为1，大圆轨道的速度为$1/\sqrt{r}$。

椭圆轨道的能量是$-1/(x+r)$，近地点的势能是$-1/x$，所以近地点的速度为$\sqrt{2r/x(x+r)}$。同样可得，远地点速度是$\sqrt{2x/r(x+r)}$，轨道角动量$\sqrt{2rx/(x+r)}$是常数。

在椭圆轨道C和小圆轨道A的交点S处的速度，可以这样得到：根据角动量守恒，可以得到沿着小圆轨道的切向速度是$v_1=\sqrt{2rx/(x+r)}$；再根据能量守恒，纵向速度就是$v_2=\sqrt{2(r-1)(1-x)/(x+a)}$。

这样就可以得到霍曼转移的速度和为

$\sqrt{(v_1-1)^2+v^2_2}+1/\sqrt{r}-v_1/R$

第一项是第一次变轨的速度变化量，其中的$(v_1-1)^2$是因为火箭原来就有速度1，第二项是大圆轨道速度，第三项其实就是椭圆轨道远地点的速度。对这个式子求导，发现它在$x=1$处导数为负数，考虑到$x\le 1$，所以，最小值就在$x=1$处，也就是说，椭圆轨道与小圆轨道相切。

求导以及随后的分析非常繁琐，我们可以在$x=1$处按照$\delta=1-x$展开，可以得到包含$\delta$的一次项为

$\frac{r-1}{r+1}[\frac{1}{v_1-1}-\frac{1}{2(1+a)}]\delta$

方括号里的部分$[\frac{1}{v_1-1}-\frac{1}{2(1+a)}]$显然大于$[\frac{1}{v_1}-\frac{1}{2(1+a)}]$，后者等于$\sqrt{\frac{1+a}{2}}[\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{1+a}] > 0$,因为$1+a > 2\sqrt{a}$。所以，$\delta =0$处是最小值，也就是说，椭圆轨道与小圆轨道相切。

图3、与小圆A相切的椭圆转移轨道C优于与小圆相交的轨道D

这样，我们就解决了两次变轨的霍曼转移最优化问题。最佳的霍曼转移轨道是与两个圆都相切的椭圆轨道。

其实，这么多的计算，只是验证了我们最初的物理直觉，速度增量最好沿着圆轨道的切线方向，因为这是原来速度的方向，也是角动量的方向。在这个方向加速，可以尽可能地增大能量和角动量，而引力场中的运动轨道完全由这两个参数决定。