读了张江敏老师讨论函数回归的文章《最长的时间》，觉得很有意思，就做了些思考和检验。

问题是：令$f(t)=\cos t +\cos \sqrt{2} t +\cos \sqrt{3} t +\cos \sqrt{5} t $，求$t$使得$4-f(t)<10^{-6}$。这个问题等价与求解若干无理数的同时丢番图逼近。mathematica和maple等都有现成命令（LLL算法），可以找到f函数的任意精度的回归。

他给出的答案是：

$t_1=10458943416\times 2\pi \approx 2\pi \times 1.046\times 10^{10}$，则$4-f(t_1)<10^{-6}$；

$t_2=17970285723473848433634226\times 2\pi\approx 2\pi \times 1.797\times 10^{25}$ ，则$4-f(t_2)<10^{-20}$

我用windows自带的科学计算器（有32位有效数字）做了检验，得到如下结果，并不能达到$10^{-20}$的精度。

$4-f(t_1) \approx 4\times10^{-7}$

$4-f(t_2) \approx 4\times10^{-17}$

为什么我要费劲算这个东西呢？因为我对$t$的数量级做了一个估计，发现它符合$t_1$，但是与$t_2$相差了六七个数量级。我是这么估计的：

1、$t$取$2\pi$的整数倍，这没有什么好说的。

2、为了$\cos \sqrt{2} t$达到$10^{-n}$的精度，需要$\sqrt{2}t  \  mod(2\pi)=x \sim 10^{-n/2}$（泰勒公式展开到$x^2$项），因为$\sqrt{2}$没有什么明显的规律，就可以这样假设，如果$t$是整点，那么$\sqrt{2}t $处于整点附近的几率为$x/\pi$。

3、同理，$\sqrt{3}t $和$\sqrt{5}t $处于整点附近的几率也是为$x/\pi$。

4、这三个应该是彼此独立、没有关联的。

5、这样就可以推算出$t\sim 1/(x/\pi)^3 \sim 30 \times 10^{3n/2}$。

6、为了达到$10^{-6}$的精度，$t\approx 3\times10^{10}$，与$t_1$相仿；为了达到$10^{-20}$的精度，$t\approx 3\times10^{31}$，比$t_2=1.797\times 10^{25}$大了6个数量级。

7、对于$t=1.797\times 10^{25}$，应该能够达到的精度大约是$10^{-16}$，符合计算器给出的结果。

8、我不知道产生差异的原因。也许是这个估计有问题；也许是笔误；也许是windows的科学计算器有问题；也许是mathematica或maple的算法有问题。我不知道原因。

9、如果一定要我选择，我宁愿相信自己的估计，因为我的简单图像可以给出半定量的结论，而且碰巧符合windows计算器的结果。

PS:

$t=17,970,285,723,473,848,433,634,226\times 2\pi $

$\pi=3.1415926535897932384626433832795$

$\cos \sqrt{2} t=0.99999999999999998574605183810922$

$\cos \sqrt{3} t=0.99999999999999998803434032256169$

$\cos \sqrt{5} t=0.99999999999999998566323069812399$

PS:

张江敏老师已经发现问题了。是笔误，想写15的时候，写成20了。

如果要达到20的精度，t的取值应该是627027290800337642295570942832。

这里的估计是对的。