我对高等数学等自然科学完全不懂，或者直白一点说就是彻底地无知。但由于是搞语文的，阅读科普文章，碰到一个凭直感觉得某个可以迁移到人文科学、社会科学中的自然科学概念，想要了解这个词语的精确含义时，常用的方法是翻查《现代汉语词典》或者《词源》《辞海》。我知道《现代汉语词典》或者《词源》《辞海》中的自然科学概念及其解释，都是经过各有关专业学科的专家审核的，但我也知道，我未必读得懂这些专家的解释。“拐点”一词现在各类文章很常见，因此刚刚从科学网看到哈工大物理系王晓钢教授的博文《“拐点”之正解》这个标题，就被吸引，于是马上点开王晓钢教授的博文认真阅读。因为我完全不懂高等数学等自然科学，现在外地，手头只有电子版的《现代汉语词典（第7版）》。《现代汉语词典（第7版）》是这样解释“拐点”的：

（1）高等数学上指曲线上凸与下凹的分界点。

（2）经济学上指某种经济数值持续向高后转低或者持续向低后转高的转折点。例句：经济运行出现回升拐点。

我觉得《现代汉语词典（第7版）》对“拐点”的解释，与大多数人对“拐点”的理解是一致的，同时我觉得王晓钢教授的解释和《现代汉语词典（第7版）》不同。由于自己的知识谫陋，完全不能排除本人所谓关于王晓钢教授的解释和《现代汉语词典（第7版）》的解释有不同的这个感觉，本身就是错误的可能性。我也完全彻底拿不准《现代汉语词典（第7版）》和王晓钢教授两个对“拐点”的解释，哪一个正确，或者本质一致，都正确？特请教王晓钢教授和其他专家。

2021/05/18 

附：王晓钢教授博文：《“拐点”之正解》

以前写过一篇博客，讲市面上关于“拐点”的滥用：把一阶导数等于零的“转向点”（即峰值点、或者低谷点）说成“拐点”。

“拐点”并非事情发展方向发生变化的点：发展方向没有变，只是发展的速率开始放缓。

y=-x^2, 最高点在x=0, y=0。但这是“转向点”（turning point），不是拐点——这个函数没有拐点！

y=x^3,  这个单调增长，永不下降的函数反而在x=0, y=0 处有一个“拐点”（inflection point），但是显然这个函数没有转向点。

今天微信里看到有人重发去年此时赵凯华先生在他九十寿诞时写的文章：

赵凯华：九旬畅谈物理教育（2020年5月25日，公众号：北大物理人）

有段话摘录到这里：

“本人写作此文时正值武汉疫情爆发，天天隔离在家在网上看新闻，其中经常展现疫情发展的曲线。人们关心何时出现曲线的拐点。拐点意味着什么？是疫情发展速度为0吗？非也，拐点是疫情发展速度最大的时刻，此刻加速度为0。经济学里有个难懂的概念，'边际效应(marginal utility)'，从数学的观点看，其实就是拐点效应：效益最大之时，即是效应衰减之始。”

这是“拐点”的正解！

对疫情的发展，总数拐点先到（数字还在上升，但是增速开始下降），然后才是转向点（最高点，数字本身开始下降）。去年著名医学专家说的：“预估二月中下旬达峰值，但不等于拐点已到”，其本意是让大家不要放松努力；但在数学上是不正确的——拐点之后才有可能达到峰值。

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