印欧词根解析：*ag-的演化与词义拓展

印欧词根*ag-演化为act, agent, agile, ambiguous, essay, exact, navigate, agony等单词的过程，涉及了多种语言演变、音变规律以及词根在不同语言环境下的派生和复合等多种因素。以下是演化的过程：

1. act：词根*ag-的核心意义是“动”，在拉丁语中演化为agere，进而通过音变（g在清辅音t前变为c）和屈折变化（完成分词形式）形成了act。act保留了原词根的“行动、驱动”含义。来源：拉丁语agere → actus（完成分词）→ act（英语）

2. agent：agent由词根ag-（动） 名词后缀-ent（表示人、物）构成，表示“正在行动的人”或“代理人”。来源：拉丁语agere（动）  -ent（名词后缀）→ agent（英语）

3. agile：agile来源于拉丁语ag+ilis（小），意为“小行动，敏捷的、迅速的”，直接来自agere的形容词形式。来源：拉丁语agilis → agile（英语）

4. ambiguous：由ambi-（两、双）+ig+ -ous（形容词后缀）组成，表示“两边行为，两可的、含糊不清的”。

5. essay：essay（es=ec=ag）在法语中意为“尝试（行动）、试验（行为）”。法语的essai，可能与拉丁语exagium（称量、估计）有关，后引申为“尝试性作品”。来源：法语essai → essay（英语）

6. exact：exact的词根ex-（出）  act-（行动），表示“把某物从原处移出”，引申为“精确的、确切的”。这里act-作为*ag-的完成分词形式，保留了行动的含义。来源：拉丁语ex-（出）  agere（动）→ exactus（拉丁语）→ exact（英语）

7. navigate：navigate由nav-（船）  ig-（=ag-，音变）  -ate（动词后缀）组成，表示“驾驶船只、航行”。这里的ig-是ag-的音变形式。来源：拉丁语nav-（船）  agere（动，音变为ig-）→ navigate（英语）

8. agony：agony的词根agoni来源于希腊语agonia，mental struggles（action）意为“挣扎、苦难”，-ony有负面否定含义。ag-词根“动”在“挣扎”这一动作上有共通之处。希腊语agonia → agony（英语）

综上所述，印欧词根ag-演化为不同单词的过程复杂多样，涉及音变、屈折变化、派生和复合等多种语言演变机制。其中，act、agent、agile、exact和navigate等单词直接或间接地保留了ag-词根的“动”的含义，而ambiguous、essay和agony等单词则在其特定语境下获得了与“动”相关的引申意义或与之相关的独立含义。