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『读文献』（二十）重整化群方法计算流体常数
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第一次听到重整化和重整化群是在量子场论课里。当时的理解就是为了克服量子场论计算中的无穷大的问题。简单说就是我们观测到的粒子的性质是和能标有关的，比如在不同能标下，电子的质量、电荷是不同的。
从操作上来说，量子场论就是将描述粒子的波动方程在傅里叶空间写出，通过迭代（微扰法）表示出正能分量。微扰项可以用著名的费曼图表示。很长一段时间没有从总体上理解这个过程，所以当我看到用费曼图表示表示宇宙结构形成的解的时候十分吃惊。现在当然明白，只要是一个方程能在傅里叶空间表示，就可以得出相应的费曼规则来。
纳维-斯托克斯方程也是可以在傅里叶空间表示的（Yakhot & Orszag 1986），于是也可以用类似量子场论中的那种处理方法。
纳维-斯托克斯方程可以写为
$\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}={\bf f}-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu_0\nabla^2{\bf v}$
$\nabla\cdot {\bf v}=0$
其中${\bf f}$是高斯随机力场，其谱满足
$<f_i(\hat{k})f_j(\hat{k}')>=2D_0 k^{-y}(2\pi)^{d+1}k^2P_{ij}({\rm k})\delta(\hat{k}+\hat{k}')$
其中
$D_0=\nu_0 k_B T/\rho$
$P_{ij}({\bf k})=\delta_{ij}-k_i k_j/k^2; \ \ \ \ \hat{k}=({\bf k},\omega)$
引入速度场的傅里叶分解（有紫外截止$\Lambda=O(k_d)$）
$v_i(x,t)=\int_{k\le \Lambda}\frac{d {\bf k}}{(2\pi)^d}\int\frac{d\omega}{2\pi}v_i({\bf k},\omega)\exp(i{\bf k}x-i\omega t)$
傅里叶空间的纳维-斯托克斯方程为
$v_l(\hat{k})=G^0(\hat{k})f_l(\hat{k})-\frac{i\lambda_0}{2}G^0(\hat{k})P_{lmn}({\bf k})\int v_m(\hat{q})v_n(\hat{k}-\hat{q})\frac{d\hat{q}}{(2\pi)^{d+1}}$
其中
$P_{lmn}({\bf k})=k_m P_{ln}({\bf k})+k_n P_{lm}({\bf k})$
$G^0({\bf k},\omega)\equiv G^0(\hat{k})=[-i\omega+\nu_0 k^2]^{-1}$
形式参量$\lambda_0 (=1)$是用来做微扰展开记录阶数用的。
方程的零阶解可以取为
$v_i^0(\hat{k})=G^0(\hat{k})f_i(\hat{k})$
将速度场的傅里叶分量分为两部分，${\bf v}^>$（对应$\Lambda e^{-r}<k<\Lambda$）和${\bf v}^<$（对应$0<k<\Lambda e^{-r}$），方程可以写为
$v_l(\hat{k})=G^0(\hat{k})f_l(\hat{k})-\frac{i\lambda_0}{2}G^0(\hat{k})P_{lmn}({\bf k})\int [v_m^<(\hat{q})v_n^<(\hat{k}-\hat{q})+2v_m^>(\hat{q})v_n^<(\hat{k}-\hat{q})+v_m^>(\hat{q})v_n^>(\hat{k}-\hat{q})]\frac{d\hat{q}}{(2\pi)^{d+1}}$
考虑小尺度，将所有${\bf v}^>$项迭代消去，然后在$\Lambda e^{-r}<k<\Lambda$内对随机力平均（一次项平均为零），得到
$(-i\omega+\nu_0 k^2)v_l^<(\hat{k})=f_l(\hat{k})-\frac{i\lambda_0}{2}P_{lmn}({\bf k})\int G^0(\hat{q})G^0(\hat{k}-\hat{q})f^>_n(\hat{q})f^>_m(\hat{k}-\hat{q})\frac{d\hat{q}}{(2\pi)^{d+1}}$
$-\frac{i\lambda_0}{2}P_{lmn}({\bf k})\int v^<_m(\hat{q})v^<_n(\hat{k}-\hat{q})\frac{d\hat{q}}{(2\pi)^{d+1}}$
$+4\left(\frac{i\lambda_0}{2}\right)^2 2D_0 P_{lmn}({\bf k})\int \vert G^0(\hat{q})\vert^2 G^0(\hat{k}-\hat{q})\times P_{n\mu\rho}({\bf k}-{\bf q})P_{m\mu}q^{-y} v_{\rho}^<(\hat{k})\frac{d\hat{q}}{(2\pi)^{d+1}}+O[(v^<)^3]$
右边$v^<$的一次项可以放到左边，从而可以看做对粘滞系数$\nu_0$的修正。此项记作$R_l$，计算可得
$R_l=-\frac{\lambda_0^2 D_0}{\nu_0^2 \Lambda^\epsilon}\frac{S_d}{(2\pi)^3}\frac{d^2-d-\epsilon}{2(d+2)d}\frac{e^{\epsilon r}-1}{\epsilon}k^2 v^<_l$
其中$\epsilon=4+y-d$。在$k\to 0$，$\omega\to 0$的极限下，对粘滞系数的修正为
$\Delta \nu(0)=\frac{\lambda_0^2 D_0}{\nu_0^2 \Lambda^\epsilon}\frac{S_d}{(2\pi)^3}\frac{d^2-d-\epsilon}{2(d+2)d}\frac{e^{\epsilon r}-1}{\epsilon}$
于是经过修正的纳维-斯托克斯方程为
$v^<_l(\hat{k})=G_r(\hat{k})(f_l+\Delta f)-\frac{i\lambda_0}{2}G_r(\hat{k})P_{lmn}(k)\int v^<_m(\hat{q})v^<_n(\hat{k}-\hat{q})\frac{d\hat{q}}{(2\pi)^{d+1}}$
其中格林函数变为
$G_r=(-i\omega+\nu_r k^2)^{-1}$
参考文献
Yakhot & Orszag, 1986, Journal of Scientific Computing, 1, 3
https://blog.sciencenet.cn/blog-117333-761879.html
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