假定有一个信号s(t),我们在实际测量的时候,都是测量这个信号在一个采样时间T内的平均值
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信号的自相关函数定义为
![](/upload/math/2009101315412584.gif)
其中
![](/upload/math/20091013154240444.gif)
,采样信号的自相关函数定义为
![](/upload/math/2009101315429553.gif)
证明
证明:
对要证的式子做一点处理
![](/upload/math/20091013154828881.gif)
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对第三项作一个变量代换(-t到t)并注意到第一项等于零可以得到
![](/upload/math/20091013155040209.gif)
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由于自相关函数中四项的相似性,我们只考虑
![](/upload/math/20091013155251506.gif)
中的第一项
![](/upload/math/2009101315528741.gif)
和
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中的第一项
![](/upload/math/20091013155334725.gif)
,
![](/upload/math/20091013155511850.gif)
![](/upload/math/20091013155548491.gif)
![](/upload/math/2009101315563459.gif)
![](/upload/math/20091013155622709.gif)
![](/upload/math/20091013155643506.gif)
将
![](/upload/math/20091013155720131.gif)
换成
![](/upload/math/20091013155737537.gif)
我们可以得到
![](/upload/math/20091013155829334.gif)
把
![](/upload/math/200910131679131.gif)
换成
![](/upload/math/2009101316732725.gif)
而保持
![](/upload/math/2009101316753475.gif)
不变,上式变为
![](/upload/math/2009101316835428.gif)
将
![](/upload/math/2009101316925272.gif)
换为
![](/upload/math/2009101316940569.gif)
![](/upload/math/200910131695937.gif)
![](/upload/math/20091013161025709.gif)
另外一方面,
![](/upload/math/2009101316119600.gif)
所以
![](/upload/math/20091013161145178.gif)
因而可以证明
https://blog.sciencenet.cn/blog-117333-262134.html
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