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从Sylow 定理学到的群生感悟

已有 3714 次阅读 2013-8-14 16:57 |个人分类:教学与科研|系统分类:教学心得

    学Sylow定理,品百味群生。Sylow定理验证了那句话:一切都是命,半点不由群。
 
   千万不要以为只有素数阶群才是循环群,事实上非素数阶循环群比比皆是,15阶  群,35阶,85阶群,95阶群都是循环群,甚至$665(=5\times 7\times19)$阶群都是循环群。

   别以为群阶因子一定是某个子群的阶数,
Sylow定理只保证素因子的方幂有这个资格。“郁郁涧底松,离离山上苗。以彼径寸茎,阴此百尺条。世胄蹑高位,英俊枕下僚。地势使之然,由来非一朝”。瞧,人家左太冲同志早就看得真真的。

   别以为华丽转身后就如何伟大。比方说,千辛万苦,修成正果,最终成为Sylow $p$子群,就能傲视群雄了?千万别有这种感觉。 可恶的Sylow定理说,任何两个
Sylow $p$子群彼此共轭,你说气群不气群?



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