经典相对论粒子-场系统场论及弱欧拉-拉格朗日方程的几何形式

时空对称性和能量-动量守恒律对应现代物理学的一个最基本的原理。然而，对经典的粒子-场系统，这一原理的适用性还有待证明。朗道认为经典粒子-场系统的能量-动量守恒也应该是时空对称性的结果，但并未给出证明。经典粒子-场系统包括带电粒子和自洽电磁场所组成的体系，例如现代强流加速器中的粒子束、聚变等离子体和空间等离子体，也包括通过自洽引力场相互作用的星际物质。

2014年秦宏、R. C. Davidson和J. Burby通过建立弱欧拉-拉格朗日方程，严格地证明了经典粒子-场系统中对称性和守恒律的对应关系 [1, 2]。他们分析了针对经典粒子-场系统建立对称性和守恒率的对应关系的障碍，并指出这个障碍的成因是粒子和场所在定义域的不同。为了克服这一困难，他们把场论中最重要的组成部分--欧拉-拉格朗日方程推广为弱欧拉-拉格朗日方程，并以此为基础建立了时空对称性和能量-动量守恒律的对应关系。对于一些熟悉的简化系统，例如弗拉索夫-波松系统，其能量-动量守恒律还不为人们所了解。应用弱欧拉-拉格朗日方程，可以从时空对称性出发系统地推导出这些简化系统的能量-动量守恒律。这些新守恒律的确立保证了基于简化系统而得到的理论和模拟结果的合理性。弱欧拉-拉格朗日方程的建立完善了经典粒子-场系统的理论结构，并为新的简化系统的构造提供了必要的理论基础和系统性的方法。

最近中国科技大学范培锋等(通讯作者：中国科大/普林斯顿大学秦宏教授)将这一工作推广到了几何形式(或明显协变形式)的相对论情形[3]。他们克服两个主要困难：第一个困难依然源自于粒子与电磁场演化的流形维度不同在几何形式的理论中，整个系统拉氏量密度关于粒子的部分既是一个时空的函数又是关于世界线的泛函，这与非几何形式的理论有着明显的差异；这直接导致对称性的方程是一个积分-微分方程；另外一个困难源于考虑相对论理论时系统存在着固有的质量壳(mass-shell)约束。单粒子的欧拉-拉格朗日方程由此需要被推广成为几何形式，进而在考虑粒子-电磁场共同存在时被推广为几何形式的弱欧拉-拉格朗日方程。几何形式的对称性方程与关于粒子的弱欧拉-拉格朗日方程以及关于场的欧拉-拉格朗日方程结合起来便得到粒子-电磁场系统的几何形式的能量-动量张量的守恒定律。

References

1.  E. Noether, Invariante Variationsprobleme, Nachr. Konig, Gesell. Wiss. Gottingen. KL. 235-257 (1918), also available in English at Transport the Statist. Phys. 1, 186-207(1971)

2.  H. Qin, J. W. Burby, and R. C. Davison, Field theory and weak Euler-Lagrange equation for classical particle-field systems, Phys. Rev. E 90, 043102 (2014)

3.  P. F. Fan, H. Qin, J. Liu, N. Xiang, and Z. Yu, Geometric field theory and weak Euler–Lagrange equation for classical relativistic particle-field systems, Front. Phys.  13(4), 135203 (2018)

文献链接：Peifeng Fan, Hong Qin, Jian Liu, Nong Xiang, and Zhi Yu, Geometric field theory and weak Euler–Lagrange equation for classical relativistic particle-field systems, Front. Phys.  13(4), 135203(2018)

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附：作者答读者问

Q1：2014年的工作与这个最新工作的新意能否简单说一下？

A1:

 2014年的工作，秦宏教授等讨论了经典粒子-场系统中的对称性与守恒定律的对应关系。分析了针对经典粒子-场系统建立对称性和守恒律的对应关系的障碍，并指出这个障碍的成因是粒子和场所在定义域的不同。他们把场论中的最重要的组成部分--欧拉-拉格朗日方程推广为弱欧拉-拉格朗日方程，并以此为基础建立了时空对称性和能量-动量守恒律的对应关系。    

最近的工作将2014年的工作推广为几何形式(或说明显协变形式)的相对论情形。作者克服两个主要困难. 第一个困难依然源自于粒子与电磁场演化的流形维度不同, 在几何形式的理论中, 整个系统拉氏量密度关于粒子的部分既是一个时空的函数又是关于世界线的泛函, 这与非几何形式的理论有着明显的差异; 这直接导致对称性的方程是一个积分-微分方程. 另外一个困难源于考虑相对论理论时系统存在着固有的质量壳(mass-shell)约束。单粒子的欧拉-拉格朗日方程由此需要被推广程为几何形式, 进而在考虑粒子-电磁场共同存在时被推广为几何形式的弱欧拉-拉格朗日方程. 几何形式的对称性方程与关于粒子的弱欧拉-拉格朗日方程以及关于场的欧拉-拉格朗日方程结合起来便得到粒子-电磁场系统的几何形式的能量-动量张量的守恒定律.

Q2：弱Euler-Lagrange方程的弱是什么意思？

A2：“弱”表示方程右边不为零，如果是零则代表方程“强”。我们写出相对论粒子-电磁场系统的“弱”Euler-Lagrange方程与Euler-Lagrange方程作比较

方程(1)右边不恒为零，代表该方程是“弱”的，此为弱Euler-Lagrange方程，方程(2)右边恒为零，代表“强”，此为Euler-Lagrange方程.

Q3: 这套理论框架对处理什么物理系统有奇效？是传统的场论方法所不能处理的？

A3：这主要对处理经典粒子-场系统表现出优势。经典的粒子系统与场的定义域不同：单个粒子演化基于的流形是一维的，场则是4维的. 对于传统的场论，这一差异导致Euler-Lagrange方程对粒子不再成立，相反应该被现在场论方法中建立的弱Euler-Lagrange方程所取代. 在讨论系统的对称性与守恒定律之间的关系时，“弱”Euler-Lagrange方程将取代原来的Euler-Lagrange方程而建立起守恒律与对称性的关系.

Q4: Noether定理源于classical continuous field theory的symmetry, 与量子化的粒子无任何关系. 量子化一个模型后,对称性体现在Green functions之间的关系，场论中一般叫Ward indentity, classical symmetry 在quantum level有时会被破坏，比如著名的chiral anomaly and trace anomaly.

A4: 按照您的说法，我们目前的理论不涉及到场的路径积分，确实是经典的理论. 该理论对于处理经典的粒子-场问题是适用的.