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结缘非线性动力学之吸引子 精选

已有 12052 次阅读 2013-3-9 04:19 |个人分类:工作点滴|系统分类:科普集锦| 非线性动力学, 吸引子

看到科网上有些朋友对吸引子感兴趣,特别写了这篇博文,仅供交流学习。写的不对的地方,请大家批评指正。


吸引子(attractor)的种类有多少种呢?维基百科上给出的一个分类是不动点(fixed point),极限环(limit cycle),极限环面运动(limit torus),奇怪吸引子(strange attractor)[1]。不动点和极限环比较常见,奇怪吸引子因为蝴蝶效应而出名,反倒是极限环面运动很少听说,更常见的说法是环面运动或概周期运动(quasiperiodic motion)。其实,不动点和极限环的几何结构比较简单,极限环面运动的几何结构相对复杂些,而奇怪吸引子的几何结构则更为复杂,具有多层次性和自相似性。
极限环[2]

寻找吸引子有几个需要注意的问题。首先,既然是吸引子,在演化中就应该具有某种不变性,比方说,吸引子内的点总在吸引子内运动。如果吸引子内的点都跑出去了,那还能称为吸引子吗?吸引子除了具有自身演化的不变性,还应该具有对外的吸引性。比方说,随着时间的推移,周围的点会聚集到吸引子上,这个区域就叫做吸引域。这个条件包含了对其稳定性的要求,吸引子应该是在某种意义下稳定的。比方定义一个系统的能量函数,观察在吸引子处是否能量最小;或者直接观察扰动下的运动,是否能回到原来的吸引子上。奇怪吸引子虽然呈现出混沌运动,而且明显存在局部的不稳定现象,我们常说的蝴蝶效应正体现了局部不稳定性。但是它并没有发散,这是因为它内部还存在着折叠和压缩,因而能保持有界运动。写完吸引子的这两个方面,我联想到了两句话:“天行健,君子自强不息;地势坤,君子厚德载物。”用这两句话总结吸引子的不变性和吸引性,还是比较形象的

环面运动[3]

最后需要补充的是,吸引子的定义是非常严格的,还有很多相关的现象不能归入其中,比方中心不动点,不稳定的不动点,半稳定的不动点,不稳定的极限环等。但这些现象对我们认识非线性动力学系统也很重要,它们和吸引子结合在一起,共同描述了丰富多彩的动力学系统。


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