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结缘非线性动力学之吸引子精选

已有 15243 次阅读 2013-3-9 04:19 |个人分类:工作点滴|系统分类:科普集锦| 非线性动力学, 吸引子

看到科网上有些朋友对吸引子感兴趣，特别写了这篇博文，仅供交流学习。写的不对的地方，请大家批评指正。

吸引子（attractor）的种类有多少种呢？维基百科上给出的一个分类是不动点（fixed point），极限环（limit cycle），极限环面运动（limit torus），奇怪吸引子（strange attractor）[1]。不动点和极限环比较常见，奇怪吸引子因为蝴蝶效应而出名，反倒是极限环面运动很少听说，更常见的说法是环面运动或概周期运动（quasiperiodic motion）。其实，不动点和极限环的几何结构比较简单，极限环面运动的几何结构相对复杂些，而奇怪吸引子的几何结构则更为复杂，具有多层次性和自相似性。

极限环[2]

寻找吸引子有几个需要注意的问题。首先，既然是吸引子，在演化中就应该具有某种不变性，比方说，吸引子内的点总在吸引子内运动。如果吸引子内的点都跑出去了，那还能称为吸引子吗？吸引子除了具有自身演化的不变性，还应该具有对外的吸引性。比方说，随着时间的推移，周围的点会聚集到吸引子上，这个区域就叫做吸引域。这个条件包含了对其稳定性的要求，吸引子应该是在某种意义下稳定的。比方定义一个系统的能量函数，观察在吸引子处是否能量最小；或者直接观察扰动下的运动，是否能回到原来的吸引子上。奇怪吸引子虽然呈现出混沌运动，而且明显存在局部的不稳定现象，我们常说的蝴蝶效应正体现了局部不稳定性。但是它并没有发散，这是因为它内部还存在着折叠和压缩，因而能保持有界运动。写完吸引子的这两个方面，我联想到了两句话：“天行健，君子自强不息；地势坤，君子厚德载物。”用这两句话总结吸引子的不变性和吸引性，还是比较形象的。