第二步来证明： $\max_{\lambda ;\lambda \geq0}{\min_{x}{L(x,\lambda )}} \leqslant \min_{x}{\max_{\lambda ;\lambda \geq0}{L(x,\lambda )}}$   (1)

由于原始问题和对偶问题均有最优值，所以可分别假设

$\max_{\lambda ;\lambda \geq0}{\min_{x}{L(x,\lambda )}}={L(x_{0},\lambda_{0})}$  

$\min_{x}{\max_{\lambda ;\lambda \geq0}{L(x,\lambda )}}={L(x_{1},\lambda_{1})}$

那么，对于任意 $x$ 下式成立，

${L(x_{0},\lambda_{0})}\leq {L(x,\lambda_{0})}$ (2)

对于任意 $\lambda$ 下式成立，

${L(x_{1},\lambda_{1})}\geq {L(x_{1},\lambda)}$  (3)

所以，

${L(x_{1},\lambda_{1})}\geq {L(x_{1},\lambda_{0})}\geq {L(x_{0},\lambda_{0})}$  (4)

因此，(1)式成立。