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[创新，？？？，基础研究] 从“Chafen method 差分法”到 Cramér 的非平稳时间序列分解定理 

一、范剑青、姚琦伟 2003：通常难以从观测数据里识别出白噪声的“正确”分布函数

   在他们 2003年专著《Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods》里的“1.4 What Is a Nonlinear Time Series?”，其中第 15 页写到：

   Although the modeling capacity of this approach is potentially large (Breidt and Davis 1992), it is difficult in general to identify the “correct” distribution function of the white noise from observed data.

   通常难以从观测数据里识别出白噪声的“正确”分布函数。

   范剑青老师是国际统计学界最高的青年学术贡献奖项“考普斯会长奖 COPSS Presidents' Award”的 2000 年得主。

二、“Chafen method 差分法”

   是一个观测数据里估计高斯白噪声方差的近似算法，是我们多年以前提出的。

   在 2015 年我们的《Analytical fitting functions of finite sample discrete entropies of white Gaussian noise》一文里，因为“differential entropy 微分熵”不能换名字了，并且“the differences between the estimated values of entropy or variance of a WGN and their true values 高斯白噪声的熵或方差的估计值与其真实值之间的差异”里的“differences 差异/差值”也不能换名词了，如果“差分法”再用“difference”，感觉读者们太容易误读了。经过编辑部同意，我们使用汉语拼音“Chafen method 差分法” 作为新的英文单词！！

   理由：

   我们认为，既然【中国人民大学（Renmin University of China）】、【中央民族大学（Minzu University of China）】都可以用汉语拼音，我们为什么不可以？

   不必夸大“Chafen method 差分法”的价值，但毕竟还是有一定用途的。主要是，Chafen 这个汉语拼音成了英文单词！

   从时间序列里分离出高斯白噪声，需要 Carl Harald Cramér 老师的两个分解定理：

   （1）两个独立正态分布变量之和，还是一个正态分布。反之，如果两个独立变量 X₁、X₂ 之和 X = X₁ + X₂ 是正态分布的，则 X₁、X₂ 自身也是正态分布的。后者是“Cramér's theorem”。

   （2）1961年，Cramér 将平稳时间序列的“Wold decomposition theorem 沃尔德分解定理”推广到“非平稳”时间序列的分解。

Harald Cramer 1961 On Some Classes of Nonstationary Stochastic Processes.pdf

   克拉默老师的第一个定理，没听到什么争议。在详细一点的书里会有。例如《Encyclopedia of Mathematics》里就有。

三、庞加莱的“同义反复”担忧

   当形式逻辑的法则取代了实验的证明，“数学如何没有沦为一种巨大的同义反复”？最后，“是否我们得承认 …… 所有这些连篇累牍中出现的各种定理仅仅只是关于A即是A的间接表达”？

图1  （美）玛莎·葛森著. 完美的证明 一位天才和世纪数学的突破[M]. 2012 page 153 截图

四、Cramér 的“非平稳”时间序列的分解

   平稳时间序列的“Wold decomposition theorem 沃尔德分解定理”，一般都会在时间序列教材里出现。但是，Cramér 的“非平稳”时间序列的分解定理，提到的书并不多。

   一个可能的担忧：

   1961年，Cramér 的“非平稳”时间序列的分解，不是特别令人信服？？

五、[创新] Cramér 非平稳时间序列分解定理的“加强”证明？

   忽然想起我以前看过的《Encyclopedia of Mathematics》一个词条了。再加上上面庞加莱的担忧，昨天（2023-08-15）晚饭前后，我想到了 Cramér 第二个分解定理的“加强”证明的一个思路。

   尚没有时间和精力完成“严格的 rigorous”证明。不过假如有条件的话，该思路应该可以更明确地解释和加强 Cramér 的非平稳时间序列分解定理。

   正因为如此，我越来越担心庞加莱上面说的了：

   “是否我们得承认 …… 所有这些连篇累牍中出现的各种定理仅仅只是关于A即是A的间接表达”？

   在多人废寝忘食、绞尽脑汁之后，一门知识里出现了一个“新”定理。搞不好，它就是另外一门知识里一个“老”定理的变形。甚至于，更加悲伤的是，这个“新”定理还不如原来的“老”定理更完善。

六、今年暑假：已经有了 4 个潜在的创新

   2019-07 完成的《考虑机械惯性的水平轴风机风速出力折算方法》，是今年暑假前的最后一个创新。这个不久前授权的发明专利，引出了“低风速”风机设计的一个可能的重要改进。

图2  我们的发明专利得到授权：CN110457800B

   之后，连续 4年，没有明显的创新了。多种疾病，以及长期严重过劳的恶果。没有安静的连续学习和思考的时间。估计“新冠疫情 Coronavirus (COVID-19) pandemic”也是罪魁祸首之一。

   今年暑假，以吃得更加肥胖为代价，换来了 4个创新（？）：

   （1）“均寂”概念，用做反证法来证明“幂集公理”将会长期存在的合理性。

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1395932.html

   （2）“电磁波的刚性”判定实验。

   2022-05之前也想过。由于脑力不够，以及没有时间，一直没有想清楚。

   今年终于有点“豁然开朗”了：光压的反作用。

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1396376.html

   （3）“半电路、半电磁场”电路里，对 Macha 等人“串音”的一个重大的具体推进。

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1397985.html

   前几天，将这个具体的明显的推进，贴在微信群《科研原创群》里了。不知道是否合适在《科学网》贴出？

   这是一个有可能发大财的新思路。我故意公开，是为了“不发财”：想体会一下当年居里夫妇放弃镭提炼专利权的感觉。

图3  献给全人类！假如它真的有用的话。

   假如该思路可行的话，对集成电路的冲击，应该不低于“浸润式光刻（Immersion lithography）”。真没想到：越是采用教材里里的基础知识，实现的创新可能越大！

   似乎越来越理解为什么万尼瓦尔·布什要在1945年写报告《科学——无止境的前沿》（Wannevar Bush, Science：endless frontier）了。

参考资料：

[1] Jianqing Fan (范剑青), Qiwei Yao (姚琦伟). Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods [M]. New York: Springer-Verlag, 2003.

https://fan.princeton.edu/fan/nls.html

https://fan.princeton.edu/

[2] 2023-06-22，考普斯会长奖/Committee of Presidents of Statistical Societies Presidents' Award/王星，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=51821&Type=bkzyb&SubID=59864

[3] Normal distribution. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Normal_distribution

  The sum X of two independent random variables X1 and X2 having normal distributions also has a normal distribution; conversely, if X = X1 + X2 has a normal distribution and X1 and X2 are independent, then the distributions of X1 and X2 are normal (Cramér's theorem). 

[4] Weisstein, Eric W. "Gaussian Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

https://mathworld.wolfram.com/GaussianFunction.html

[5] Carl Harald Cramér, MacTutor History of Mathematics archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cramer_Harald/

[6] Cramér, Harald. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Cram%C3%A9r,_Harald

[7] Harald Cramér. On Some Classes of Nonstationary Stochastic Processes [C]. Proceedings of the Fourth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Volume 2: Contributions to Probability Theory Vol. 4.2, 1961, 57-78.

Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob., 1961: 57-78 (1961)  1 January 1961

doi:  DOI:10.1007/978-3-642-40607-2_20

https://projecteuclid.org/ebooks/berkeley-symposium-on-mathematical-statistics-and-probability/Proceedings%20of%20the%20Fourth%20Berkeley%20Symposium%20on%20Mathematical%20Statistics%20and%20Probability,%20Volume%202:%20Contributions%20to%20Probability%20Theory/chapter/On%20Some%20Classes%20of%20Nonstationary%20Stochastic%20Processes/bsmsp/1200512593

https://www.semanticscholar.org/paper/On-Some-Classes-of-Nonstationary-Stochastic-Cram%C3%A9r/58bb717cdd7f7c7e8b56466fb424b8d18f33fe5b

[8] 樊春良. 没有止境边疆的科学—《科学：没有止境的边疆》75年的历程和影响[J]. 《科技中国》2020年第七期pp.56-64.

http://www.casted.org.cn/channel/newsinfo/7782

   科学是一种具有丰厚利润的、无尽的、可持续的资源，“政府应当承担起促进新的科学知识的产生和培育青年科学家的职责”。历经半个世纪，这句至理名言已得到一次又一次验证。对基础科学的回报是巨大的。“科学确实是一个没有止境的边疆……科学还是一个取之不尽的资源”。

相关链接：

[1] 2023-08-14，[原创有多难] 存折原理

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1399021.html

[2] 2023-07-19，[新术语] 宇宙“均寂”（均匀地寂灭）与“幂集公理”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1395932.html

[3] 2023-07-23，[讨论] 电磁学的实验再检验（7）：电磁波的刚性（关联“光压”）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1396376.html

[4] 2022-05-16，[讨论] 电磁波会传递机械力或电磁力吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1338778.html

[5] 2023-08-05，[推测] “半电路、半电磁场”电路的价值，大于“晶体管+集成电路”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1397985.html

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