[好书推荐] 王宪钧教授的《数理逻辑引论》

王宪钧教授，1910-04-26 ~ 1993-11-19

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   “逻辑”不仅仅是“逻辑学”自己的事情，按照爱因斯坦 1953-04-23 给斯威泽(John Singleton Switzer)的回信中的说法：逻辑是西方科学的两个方法之一。

   “西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何中），以及（在文艺复兴时期）发现通过系统的实验可能找出因果关系。”

   学习逻辑、了解逻辑的威力，了解逻辑方法的局限性，是有益的。

   王宪钧老师1982年的《数理逻辑引论》，就是学习逻辑的一本好书！

图1  王宪钧，数理逻辑引论，1982

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   著名数理逻辑哲学家王宪钧教授《数理逻辑引论》，1982年北京大学出版社出版。封皮应该就是上面的样子。

   《数理逻辑引论》第一篇，命题逻辑。第二篇，狭谓词逻辑。

   其中的“第三篇 数理逻辑发展简述”尤为重要。

   《第三篇 数理逻辑发展简述》里的《第六章 歌德尔定理 数理逻辑发展的第三阶段》有“丘奇论题不能在数学理论里证明，不是一个数学定理。它只是说明，某些数学理论是一特定直观概念的严格的数学描述。”

   这就打破了对“丘奇论题”的迷信。在此之前，还以为“丘奇论题”是当朝天子圣旨，“违令者斩”呢！

图2  金岳霖与他的学生们（从左到右）：胡世华、沈有鼎、周礼全和王宪钧，1982年

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★★★ 温馨提醒：自然科学里“纯逻辑”方法的局限性 ★★★

A.1  爱因斯坦：一切关于实在的知识，都是从经验开始，又终结于经验

   爱因斯坦（Albert Einstein）1933-06-10 在the Herbert Spencer lecture at Oxford 《On the Method of Theoretical Physics 关于理论物理学的方法》里说: “Pure logical thinking cannot yield us any knowledge of the empirical world; all knowledge of reality starts from experience and ends in it. Propositions arrived at purely by logical means are completely empty as regards reality. Because Galileo saw this, and particularly because he drummed it into the scientific world, he is the father of physics —— indeed of modern science altogether. 纯粹的逻辑思维不能给我们任何关于经验世界的知识；一切关于实在的知识，都是从经验开始，又终结于经验。就现实而言，纯粹通过逻辑手段得出的主张是完全空白的。由于伽利略看到了这一点，特别是因为他将其强力引入了科学界，因此他是物理学的父亲 —— 完全代表了现代科学。”

A.2  大数学家阿诺德：推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低

   In exactly the same way a small change in axioms (of which we cannot be completely sure) is capable, generally speaking, of leading to completely different conclusions than those that are obtained from theorems which have been deduced from the accepted axioms. The longer and fancier is the chain of deductions ("proofs"), the less reliable is the final result.

   Complex models are rarely useful (unless for those writing their dissertations).

   与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。

   复杂的模型几乎毫无用处（除了对那些无聊的专写论文的人）。

A.3  哥德尔不完全性定理，Chaitin定理

Chaitin定理：

   1. 在一个有 n 位公理的形式系统中，不可能证明一个复杂性大于 n+c 的特定的二进制字符串。

   2. 相反，存在一些具有 n+c 位公理的形式系统，其中可以确定每个复杂度小于 n 的字符串以及这些字符串中的每个字符串的复杂度，并且还可以表示每个复杂度大于或等于 n 的字符串，但不能知道这些字符串中每个字符串的复杂性超过 n 的程度。

   3. 不幸的是，任何能够确定复杂性小于 n 的每个字符串的形式系统都有一个或另一个严重的问题。要么它只有极少量的公理，需要极长的证明，要么它有很短的证明，但有极大量的公理。我们之所以说“难以置信”，是因为这些量的增长速度比 n 的任何可计算函数都快。

A.4  特斯拉：今天的科学家们用数学替换了实验

   1934-07，一本叫《Modern Mechanix and Inventions》的杂志，在第 117、118页里写到，特斯拉（Nikola Tesla，他的名字被命名为磁感应强度单位）：

   Today's scientists have substituted mathematics for experiments, and they wander off through equation after equation, and eventually build a structure which has no relation to reality.

   今天的科学家们用数学替换了实验，并且他们从方程到方程来回地推导，最终建立了一个和现实世界没有任何关系的数学结构。

A.5  数学百科全书 Encyclopedia of Mathematics

   任何证据都是相对的，因为它是基于某些无法证明的假设。

   Any proof is relative, since it is based on certain unprovable assumptions. 

   引用自：Proof. A.S. Kuzichev (originator), Encyclopedia of Mathematics.  https://encyclopediaofmath.org/wiki/Proof

A.6   哥德尔

   “没有一个在特定分辨率层次上形成的知识系统，能够完全解释那个层次，必须具有一个高层元知识才能完全解释它。然而，当我们着手去构造这个更一般的元知识时，它也要求更高一层的元-元知识去解释它。” 

   引用自： 张钹. 近十年人工智能的进展[J]. 模式识别与人工智能，1995，8(增刊)：1-9.          求原文出处，感谢！

参考资料：

[1] 2022-01-20，王宪钧/Wang Xianjun/刘叶涛，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=204998&Type=bkzyb&SubID=101957

   出版的专著有《数理逻辑引论》（1982），译著有《逻辑史选译》（1961）。

[2] 清华逻辑随笔 (Tsinghua Logic Blog) ，第13期 2022-06-21，刘培育：尊师敬业的王宪钧先生

http://tsinghualogic.net/JRC/tsinghua-logic-blog/

   王先生的专著《数理逻辑引论》是20 世纪80 年代出版的现代逻辑著作，对数理逻辑的一些难点做了准确而细致的分析，特别是对数理逻辑发展史和数学基础问题的探讨做出了重要贡献。

[3] 清华大学哲学系，2022-03-10，会议信息 | 校庆特别活动：清华逻辑学派的传统 Legacy of the Tsinghua Logic School

https://www.rwxy.tsinghua.edu.cn/info/1162/8486.htm

[4] 清华大学，2021-11-05，汉学家眼中的“清华逻辑学派”

https://www.phil.tsinghua.edu.cn/info/1037/1926.htm

   当时欧洲逻辑学家对数理逻辑和数学基础的贡献主要是被清华后来的逻辑学家（尤其是王宪钧）进行更全面地介绍。哥德尔理论的第一次大量介绍是由王宪钧完成的。总之，“清华逻辑学派”于民国时期在数理逻辑学科的建立和形成中发挥了关键性作用，他们将中国数理逻辑教学与研究提升到一个全新的高度。

[5] 《科学网》博文专题：爱因斯坦的回信

http://news.sciencenet.cn/news/sub18.aspx?id=2201

   一封1953年4月23日爱因斯坦写给斯威泽（J.S. Switzer）的回信引起诸多博主的关注和争论。这封信在中文世界里，是如雷贯耳的，这大概是因为它的诞生和内容，和咱们中国的科学有着直接而紧密的联系。

[6] Gregory John Chaitin. Information-theoretic computation complexity [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1974, 20(1): 10-15.

DOI: 10.1109/TIT.1974.1055172

https://ieeexplore.ieee.org/document/1055172

https://dl.acm.org/doi/10.1109/TIT.1974.1055172

[7] Vladimir I Arnol'd ((Arnold). On teaching mathematics [J]. Russian Mathematical Surveys, 1998, 53(1): 229-234.  Number 1, February 1998

doi:  10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1998v053n01ABEH000005

相关链接：

[1] 2021-11-09，[杂录] 对1999年《人类智能模拟的“第2类数学……》一文的一些扼要说明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1311664.html

[2] 2009-02-23，怎么翻译爱因斯坦谈科学起源

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-216696.html

[4] 2023-05-28，[好书推荐] 克莱因的《古今数学思想》 Mathematical Thought from Ancient to Modern Times

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1389718.html

[4] 2018-08-27，科普经典书目推荐：乔治·伽莫夫的《从一到无穷大》

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1131373.html

[5] 2016-10-03，感谢中国科学院“科学智慧火花”：丘奇-图灵论题（Church-Turing Thesis），可能误导了 “P vs NP” 的研究

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1006444.html

[6] 2022-03-01，[科普 + 备课] Chaitin定理（1966年）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1327564.html

[7] 2022-10-19，[想不明白] 几十页、上百页长的数学证明，真的可靠吗？（阿诺德、Chaitin）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1360078.html

[8] 2022-02-19，[科普 + 备课] 哥德尔不完全性定理（1931年）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1326086.html

[9] 2023-02-24，[答疑，讨论，备课] 逻辑严密性的相对性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1377738.html

[10] 2023-01-15，[小资料，小科普] “世界逻辑日 World Logic Day”，联合国教育、科学及文化组织

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1372064.html

[11] 2022-09-28，历史上经典科学实验的现代再检验：“硬凑”的逻辑

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1357231.html

[12] 2021-11-22，[备课？讨论？] 异步电动机定子的旋转磁场：想象力与逻辑

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1313473.html

[13] 2021-01-11，[随笔] 原创“0到1”与逻辑性

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1266722.html

[14] 2019-07-26，[建议] 中学、大学和研究生教育中增加“逻辑”知识

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1191217.html

[15] 2013-11-03，逻辑能力与数理科学创新小议

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-738568.html

[16] 2010-03-10，逻辑方法的局限性：元知识、乌龟塔与盲人摸象

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-301534.html

[17] 2010-03-09，逻辑方法的局限性：Gödel incompleteness theorem和Chaitin theorem

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-301287.html

[18] 2023-06-29，[请教] P对NP（三）：“NP完全性, NP-completeness”之后

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1393466.html

[19] 2022-06-10，[请教] P对NP（二）：结果的相对性与“1+3”种证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1342404.html

[20] 2012-03-23，[请教] P对NP：请***教授等专家指教（一）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-550859.html

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