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往日（15）：2009-11-13 对21世纪数学发展的看法

   网传丘成桐（Shing-Tung Yau）老师说：

   尽管近40年来中国的数学发展迅速，但这远远不能让人满意，其中最大的问题就是人们还是以解题，很少自己提出问题。

https://new.qq.com/omn/20220411/20220411A0DCY700.html

https://new.qq.com/omn/20220301/20220301A0565L00.html

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1348363.html

一、2009-11-13 对21世纪数学发展的看法

   2009-11-13 在《科学网》博客贴出博文“21世纪数学的3个最重要研究方向”。后来改贴到BBS。现在看不到了。

   核心看法要点如下：

（1） 现有数学的结构性压缩：

   对数学的整体简化和压缩，恢复到 Hilbert、Bourbaki 的层次。

   通过对数学公理、证明的具体结构分析，提出一种“不做解释”的超级数学。超级数学是现存数学的一种结构性压缩。

   超级数学类似计算机语言：人可以给出各种具体解释，而计算机不做解释，一切都被转化为一种确定的计算过程。尽管“数学 > 逻辑”。

（2） 定性数学的研究：

   沿着 Jules Henri Poincaré 开创的 Qualitative 研究的道路对各种定性理论的研究。

   因为目前的所谓“定量”quantitative 研究，实际上是以有理数、实数为基础的。当遇到f复杂性层次或更高复杂性问题时，定量是没有能力的。如同现在不能用有理数（比数）来真正表示实数。

   实际上，目前的严格 rigorous 的数学，几乎都处在“有理数”层次：因为我们的逻辑还在有理数层次。实数理论的严密性，目前还不能真正地“构造”出来；尽管可以借助无穷的过程表示出来。

   一般地，“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。”（吴文俊，《中国大百科全书 数学卷》）。这根源于***：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。”

   真傻的一种解释：数的科学，是a、c的；形的科学，是f的。因此这种分类，就把数学限制在人脑能充分研究的“有限”范围。

   人脑和宇宙，哪个更复杂？依据实数为基本元素的数学，真的能表示宇宙的复杂运动吗？科技论文为什么要用“图片 figure”？

（3） 数学过程的机器化：

   除了解决数字计算机遗留的各种问题外，以“实数”、“几何曲线”等为基本元素的自动计算机研究，以及利用它们求解问题的研究。

   即：第1类、第2类计算机的研究与应用。

   解释：数字计算机是第0类的；模拟计算机是第1类的；几何光学计算机是第2类的。

   但是，曾经使用过的“模拟计算机”，因为计算精度问题，在1980年代后就逐渐进入博物馆了。这里指的是“能表示实数的”计算机。几何光学计算机有原型f4系统。

   特别是，目前人们研究的光学计算机、量子计算机，主要内容不是真正的“第2类计算机”；而是数字计算机的高性能版本。

   一些文献：Lenore Blum, Mike Shub, Steve Smale. "On a theory of computation and complexity over the real numbers: np completeness, recursive functions and universal machines." The Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 21, No. 1, (July 1989): 1-46.

   Steve Smale，1966 Fields Medalists。

二、一些新的看法或补充

（1） 现在热火朝天的“量子计算”，属于数学过程的机器化。

   罗杰·斯佩里（Roger Wolcott Sperry，1913年8月20日 ~ 1994年4月17日），1981年获得诺贝尔生理或医学奖。获奖原因是“for his discoveries concerning the functional specialization of the cerebral hemispheres”，即发现了左脑是量化的；而右脑是更重要的（空间、音乐的理解）。

   左半脑主要负责逻辑理解、记忆、时间、语言、判断、排列、分类、逻辑、分析、书写、推理、抑制、五感(视、听、嗅、触、味觉)等，思维方式具有连续性、延续性和分析性。因此左脑可以称作“意识脑”、“学术脑”、“语言脑”。右半脑主要负责空间形象记忆、直觉、情感、身体协调、视知觉、美术、音乐节奏、想像、灵感、顿悟等，思维方式具有无序性、跳跃性、直觉性等。

   通俗地说：图像处理能力，主要是右半脑的功能。数学过程的机器化，大体上是将右半脑智能的数学化。可以肯定，量子计算具有将右半脑的功能机械化的潜力。目前的量子计算机，有的是第1类计算机，也有算是第2类计算机。都超过了数字计算机（第0类计算机）。

   我的相关论文：

[1] 杨正瓴. 第二类计算机构想 [J]. 中国电子科学研究院学报, 2011, 6(4): 368-374. 2011年8月.

doi：10.3969/j.issn.1673-5692.2011.04.009

http://www.cqvip.com/QK/87495A/201104/39096952.html

https://mall.cnki.net/magazine/Article/KJPL201104010.htm

https://d.wanfangdata.com.cn/periodical/dzkxjspl201104009

[2] 杨正瓴. 人脑有多复杂？[J]. 百科知识, 1997, 7(总第216期): 39-40.

[3] 杨正瓴，林孔元. 人类智能模拟的“第2类数学（智能数学）”方法的哲学研究 [J]. 哲学研究, 1999, (4): 44-50.

http://www.cqvip.com/QK/80454X/199904/1002190349.html

https://mall.cnki.net/magazine/Article/ZXYJ199904005.htm  

   相关参考文献：

[1] Roger Sperry. Some effects of disconnecting the cerebral hemispheres [J]. Science, 1982, 217(4566): 1223-1226. 

DOI: 10.1126/science.7112125

https://www.science.org/doi/10.1126/science.7112125

[2] 钱学森. 关于思维科学[M]. 上海: 上海人民出版社, 1986. 

[3] 杨正瓴. 逻辑能力与数理科学创新小议[J]. 科技导报, 2014, 32(1): 88-88.

http://www.kjdb.org/CN/abstract/abstract11234.shtml

（2）朗兰兹纲领（Langlands program），热火朝天。属于现有数学的结构性压缩。

   Langlands Program | Institute for Advanced Study

https://www.ias.edu/idea-tags/langlands-program

里的介绍应该很准确。

   朗兰兹纲领（Langlands program）的圈圈：伽罗瓦（Galois）表示（算术对象），自守表示（分析对象）和代数簇的各种上同调理论（几何对象）。

2018: Robert P. Langlands, THE ABEL PRIZE, The Norwegian Academy of Science and Letters

https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2018

   感谢善良的谦逊的朗兰兹老师！他 1967 年画圈的时候，没有将“概率论、数理统计学、信号分析、傅里叶分析、拉普拉斯变换”等圈进去。像 Nicolas Bourbaki 那样更一般的数学统一（结构的压缩），留给别人去画圈了。

全人类的数学家们，尽情去画圈吧！只要不是朗兰兹老师的地盘！

   相关背景：

   Institute for Advanced Study，即“普林斯顿高等研究院”，是世界著名理论研究机构。就是 1930 年之后爱因斯坦上班的单位。https://www.ias.edu/about/welcome

   Institute for Advanced Study 不是普林斯顿大学的一部分。

   普林斯顿高等研究院。Founding Director Abraham Flexner believed that if the Institute “eschews the chase for the useful, the minds of its scholars will be liberated, they will be free to take advantage of surprises, and someday an unexpected discovery, apparently leading nowhere, will be found to be an indispensable link in a long and complex chain that may open new worlds in theory and practice.”

   创始所长亚伯拉罕·弗莱克斯纳认为，如果研究所“避免追逐有用的东西，其学者的思想将得到解放，他们将可以自由地利用惊喜，总有一天会发现一个意想不到的发现，显然不会导致任何结果。成为可能在理论和实践上打开新世界的漫长而复杂的链条中不可或缺的一环。”

   Abraham Flexner: Legacy, Institute for Advanced Study

https://www.ias.edu/flexner-legacy

里说：

   Louis Bamberger and Caroline Fuld sold the store to R. H. Macy and Company of New York for some $25 million just weeks before the stock-market crash in October 1929.

   就在 1929 年 10 月股市崩盘前几周，路易斯·班伯格和卡罗琳·富尔德将这家商店以约 2500 万美元的价格卖给了纽约的 R. H. Macy and Company。

   The Fulds and Louis Bamberger were deeply committed to community service. 

   Fulds 和 Louis Bamberger 坚定地致力于社区服务。

   Feeling that they had benefited greatly from the State of New Jersey, and from the people of Newark in particular, Bamberger and Fuld thought of establishing a medical school either in Newark or on the Fuld estate in South Orange. 

   班伯格和富尔德觉得他们从新泽西州，特别是纽瓦克人民那里受益匪浅，因此想到在纽瓦克或南奥兰治的富尔德庄园建立一所医学院。

    Flexner argued ... the establishment in America of a purely graduate university, devoted to learning and researching rather than undergraduate teaching.

   弗莱克斯纳认为……在美国建立一所纯粹的研究生大学，致力于学习和研究，而不是本科教学。

    Such was Flexner’s charisma and reputation that Louis Bamberger and Caroline Fuld were quickly captivated by his vision. From the initial meeting in the fall of 1929, it was a matter of months until the formal establishment of the Institute, with Flexner at its helm, in June of 1930.

   这就是 Flexner 的魅力和声誉，Louis Bamberger 和 Caroline Fuld 很快就被他的远见所吸引。从 1929 年秋天的第一次会议开始，到 1930 年 6 月由弗莱克斯纳掌舵的研究所正式成立仅用了几个月的时间。

   The Institute exists today largely due to Flexner’s vision and enthusiasm. His dream has proved successful. He was prescient in seeing the need for an institution that crosses disciplinary boundaries and is not constrained by an undergraduate curriculum; that provides scholars and scientists of proven achievement the opportunity to pursue research driven by their own intellectual curiosity; that selects only on the basis of ability, attracting the ablest researchers from around the world; whose structure is flexible (“plastic”) so that it can change with time; that remains relatively small so that it retains a sense of community; a true academic village—a community of scholars.

   该研究所的存在很大程度上归功于 Flexner 的远见和热情。事实证明，他的梦想是成功的。他有先见之明，看到需要一个跨越学科界限且不受本科课程限制的机构；这为已证明有成就的学者和科学家提供了以自己的求知欲为动力进行研究的机会；仅根据能力进行选择，吸引来自世界各地的最有能力的研究人员；其结构是灵活的（“塑料”），因此可以随时间变化；保持相对较小，以保持社区意识；一个真正的学术村——一个学者的社区。

（3）定性数学的研究

   不清晰当前的动态。惭愧！

   其实，在网上查查就可以。但是，从2010年开始，傻越来越没有时间，越来越没有精力。这就是近来总在博文的直接原因：没有充分的精力、脑力用于编程序，做教改。只能搞点“科普”，回顾过去、展望未来了。

   “与其诅咒黑暗，不如燃起蜡烛。”

   荀子《劝学篇》：“吾尝终日而思，不如须臾之所学。”

   现在呢？

   “终日而思”之前，最好先“查查资料”。我们天津大学有很好的各种专业数据库！

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1348332.html

Einstein, Leopold Infeld. The Evolution of Physics [M]. Originally published in 1938 by Cambridge University Press

参考资料：

[1] Institute for Advanced Study

https://www.ias.edu/

[2] The Millennium Prize Problems | Clay Mathematics Institute

https://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems

[3] 定性推理/qualitative reasoning/申宇铭、张敏灵，中国大百科全书

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=41689&Type=bkzyb&SubID=81555

相关链接：

[1] 2022-07-25，[自己提出问题，提问] 与大数据与机器学习、数据挖掘等“数据科学”有关的一些问题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1348710.html

[2] 2021-05-15，《科学》杂志的两个 125个科学问题（2005，2021）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1286678.html

[3] 2020-03-20，破除论文“SCI至上”：弗拉基米尔·阿诺德1995年的几句话

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1224424.html

[4] 2022-07-02，往日（14）：曾经“最好”的伪随机数，目前继续求教中

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1345572.html

[5] 2022-07-01，往日（13）：我命名了 7 个无穷基数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1345428.html

[6] 2022-06-30，往日（12）：数学里“无穷小 infinitesimal”的新符号建议

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1345282.html

[7] 2022-06-23，往日（11）之二：比 Fisher Z Transformation 更好：细节与相关的历史资料

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1344208.html

[8] 2022-06-21，往日（11）：比 Fisher Z Transformation 更好的标准正态分布累积分布erf逼近函数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1343914.html

[9] 2022-06-11，往日（10）：低阶非线性变换

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1342532.html

[10] 2022-05-17，往日（9）：从忆阻器（Memristor）到电荷源、磁链源

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1338956.html

[11] 2021-07-15，对2008年《超过指数增长速度的年度用电量曲线拟合预测》一文的一点说明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1295579.html

[12] 2021-11-09，[杂录] 对1999年《人类智能模拟的“第2类数学……》一文的一些扼要说明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1311664.html

[13] 2022-02-22，往日（8）：灵巧床板设想

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1326509.html

[14] 2021-10-23，往日（7）：汉语言改革与文化传承

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1309140.html

[15] 2021-09-30，往日（6）：我们对电力负荷预测的一些看法

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1306311.html

[16] 2021-05-02，往日（5）：1993年 IEEE 的一则 Erratum 勘误（互容 mutual capacitance）

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1284768.html

[17] 2021-02-03，往日（4）：组合预测之谜 forecast combination puzzle

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1270404.html

[18] 2020-09-13，往日（3）：《国家综合能源基地示意图》，2013-01-01，能源发展“十二五”规划

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1250372.html

[19] 2019-12-04，往日（2）：El Nino发生机制的天文成因

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1208782.html

[20] 2019-02-28，往日（1）：小样本数理统计学与“压缩感知 Compressed sensing”

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1164730.html

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