汉语是联合国官方正式使用的 6 种同等有效语言之一。请不要歧视汉语！

Chinese is one of the six equally effective official languages of the United Nations.

Not to discriminate against Chinese, please!

[小结] 我们在数学上的主要创新点（概率与统计之外）

   以我的IQ，是不适合研究数学的。“被”搞点数学。

   除了上次汇报的《概率论》、《数理统计学》方面，我们在数学的其它方面，实际上主要是与计算机有关的主要创新点，向老师们汇报如下。感谢您的批评指正！

   一些内容，在以前的博文里陆续汇报过。本文是小结。

一、数字计算机：P vs NP

   详见：

   （1）2022-06-10，[请教] P对NP（二）：结果的相对性与“1+3”种证明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1342404.html

   （2）2012-03-23，[请教] P对NP：请郝克刚教授等专家指教（一）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-550859.html

   （3）2022-06-06，1999《哲学研究》一文观点的“一句话”概括

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1341799.html

   该结果基本上属于“原创”。

二、数学基础：第2类数域

   （1）第2类数学：

   主要是“第2类数域”：继“有理数域”、“实数域”之后的新的数域。

   并可以进一步推广到更多的数域。

   （2）一个应用：第2类计算机。

   部分要点在：

   2022-06-06，1999《哲学研究》一文观点的“一句话”概括

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1341799.html

   相关论文：

[1] 杨正瓴. 第二类计算机构想 [J]. 中国电子科学研究院学报, 2011, 6(4): 368-374. 2011年8月.

doi：10.3969/j.issn.1673-5692.2011.04.009

http://www.cqvip.com/QK/87495A/201104/39096952.html

https://mall.cnki.net/magazine/Article/KJPL201104010.htm

https://d.wanfangdata.com.cn/periodical/dzkxjspl201104009

[2] 杨正瓴，林孔元. 人类智能模拟的“第2类数学（智能数学）”方法的哲学研究 [J]. 哲学研究, 1999, (4): 44-50.

http://www.cqvip.com/QK/80454X/199904/1002190349.html

https://mall.cnki.net/magazine/Article/ZXYJ199904005.htm

[3] 杨正瓴. 人脑有多复杂？[J]. 百科知识, 1997, 7(总第216期): 39-40.

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-BKZS199707022.htm

https://d.wanfangdata.com.cn/periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjIwNDE1Eg5RSzE5OTcwMTEzNjAzMBoIYmR6bjU1dng%3D

   该结果，看上去是比较典型的“原创”。

三、线性系统的稳健性

   范剑青、姚琦伟老师在《非线性时间序列——建模、预报及应用》（Jianqing Fan, Qiwei Yao. Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods [M]. New York: Springer Science+Business Media, Inc, 2003.

https://fan.princeton.edu/fan/nls.html ）第 448 页《10.1.5 Nonlinear versus Linear Prediction》里说：

   But empirical studies indicate that linear methods often work well despite their simplicity, and the gain from nonlinear prediction is not always significant and sometimes is not even guaranteed; see §3.4.1 of Chatfield (2001) and the references therein. Although we should not take numerical comparisons on faith (see, §6.6.3 of Chan and Tong 2001), the robust performance of linear forecasting methods is undeniable. 

   但实证研究表明，线性方法尽管简单，但通常效果很好，而且非线性预测的收益并不总是显着的，有时甚至无法保证；参见 Chatfield (2001) 的 §3.4.1 和其中的参考文献。尽管我们不应该凭信念进行数值比较（参见 Chan 和 Tong 2001 的第 6.6.3 节），但线性预测方法的稳健性能是不可否认的。

   由于我一时看不懂范姚两位老师们在448、449页的基于数理统计学的证明，只好我自己思考了一下：根据大学物理实验里的全误差计算公式，即高等数学里多元函数的全微分计算。

   核心：线性系统的误差，独立于系统的自变量。

   推断或预言：特殊情况下的非线性，如低阶非线性，也可能不错。

   散见硕士生同学们的论文与专利申请。

四、低阶非线性变换

   接着上个问题“线性系统的稳健性”，进一步思考。即：特殊情况下的非线性，如低阶非线性，也可能不错。

   详见：2022-06-11，往日（10）：低阶非线性变换

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1342532.html

   该结果应该不算重要创新，但有用。特别是在实际数据（大数据）中。

五、噪声可能会破坏稳定性

   算是交叉“物理学、非线性动力系统”？

   多少有点意外：

   在稳定性边界附近，噪声也可以引起动力系统失去稳定性。

   论文：

   YANG Zheng-Ling, GAO Yang, GAO Yong-Tao, ZHANG Jun. Behavior of a logistic map driven by white noise [J]. Chinese Physics Letters, 2009, 26(6): 60506-060506.

   DOI:  10.1088/0256-307X/26/6/060506

   http://cpl.iphy.ac.cn/CN/abstract/abstract41993.shtml  

   该结果应该不算重要创新，但有用。特别是在实际应用中。如电力系统的稳定性。

六、矩阵乘法：按照定义计算最好

   2012年美国 SIAM 主席、皇家学会院士 Nick Trefethen 提出了两个与数字计算机有关的问题：  https://archive.siam.org/news/news.php?id=2024

   第一个问题是，是否可以在 O(n^2+ε) 运算中求解 n×n 线性方程组 Ax = b，其中ε 任意小？

   第二个问题是，为什么高斯消元法有效？

   其实，这两个问题的本质，都与数字计算机的有限位数（bit）引起的“截断误差”有关。

   例如，对于元素为均匀分布随机数的两个矩阵，按照矩阵乘法的定义，计算结果矩阵有 n×n 个元素，即 n² 是自然下界。计算结果矩阵里的某个元素需要访问 2×n 个输入矩阵里的元素，加法引起进位为 logn。这样，2×n×logn 是一个结果矩阵元素包含的信息量。因此，n³×logn 是定义包含的信息量。任何矩阵乘法算法，都不会低于这个信息量。

   又如，在高斯消元法（Gaussian elimination）里，不同未知自变量之间不产生相互作用，不会引起未知量的截断误差增加，而只有已知的数字系数之间的运算。

   1969年惊人的 Strassen’s Matrix Multiplication algorithm，即 Volker Strassen 的 2.808 幂次的矩阵乘法算法等，通常是以增大“截断误差”为代价的。但是，这类研究有时会引起加法次数的增加，或者引入矩阵乘法定义里没有的“多余的”运算或操作，因此，某个该类算法是否真的“加快了计算速度”？还需要客观地测评。

   当然，这类合并进行乘法的算法研究仍然有用：例如只要求快速性，且允许一定误差时。

   随着计算机位数（bit）的增加，“截断误差”的不良影响会越来越小。所以追求 O(n^2+ε) 的矩阵算法研究，仍然具有一定的实际意义。

   从我国学者陈道琦、谢友才、应文隆在1990《科学通报》发表的结果，可以方便地看出这个问题的实质。

   该结果，看上去是比较典型的“原创”。

   至于1993年发表的那个渐近 O(nloglogn)、另一个在某些情况下渐近O(n)的排序（sorting）算法，似乎不应该说出来？

七、从随机到混沌的途径

   要点在《二、从随机到混沌的途径，属于非线性动力系统，2002-2005》

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1341531.html

八、灰色系统理论：数理统计学解释与拓宽

   我们的实用性贡献：

   不必仅仅采用微分方程进行灰色拟合，还可以像该文一样采用其它更灵活的拟合函数。于是，我们不仅拓宽了灰色系统的适用范围，还可以进一步提高拟合的准确性。

   详见：

（1）2021-07-15，对2008年《超过指数增长速度的年度用电量曲线拟合预测》一文的一点说明，  https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1295579.html

（2）2021-07-16，[打听] 有木有刊名里有 confidence, interval, sample, size 的SCI期刊？  https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1295748.html

九、素数分布

   拟研究的问题。

   意外发现：素数分布，可能与一个工程问题有联系。

   详见：

（1）2018-11-03，[猜想] 素数分布，应该是个简单问题

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1144328.html

（2）2018-11-04，《[猜想] 素数分布，应该是个简单问题》的补充说明

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1144462.html

十、集合论的发展

   2003年“被”指派给的任务。不知道能否继续活下去？

   “你想发展集合论吗？它很长时间没有变化了。这才是数学中最高层次的工作”。附注：“最高层次，是你说的。”

   （1）数学，按照其结构的巨大简化与压缩：沿着“爱尔朗根纲领 Erlangen program”、“希尔伯特计划 Hilbert program”、Bourbaki，进一步提升“the Langlands conjectures, Langlands Programme, 朗兰兹纲领”。

   （2）集合论，或相同层次数学的根本改造；

   （3）语言与逻辑，或相同层次数学的根本改造。符号学——就是关于符号的意义——和集合论的发展有直接的关系。

感谢您的批评与指点！

“早发表，晚评价。”“努力在我，评价在人。”——华罗庚

早就累傻了。肯定有遗漏的和错误的！请您指出哪些是错误的？感谢！

相关链接：

[1] Erlangen program. Encyclopedia of Mathematics. [EB/OL]

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Erlangen_program

[2] Hilbert program. Encyclopedia of Mathematics. [EB/OL]

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hilbert_program

[3] Nicolas Bourbaki, MacTutor History of Mathematics Archive [EB/OL]

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bourbaki/

[4] Robert Phelan Langlands, MacTutor History of Mathematics Archive [EB/OL]

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Langlands/

[5] Jianqing Fan, Qiwei Yao. Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods [M]. New York: Springer Science+Business Media, Inc, 2003.

https://fan.princeton.edu/fan/nls.html

[6] Volker Strassen, MacTutor History of Mathematics Archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Strassen/

[7] 陈道琦，谢友才，应文隆. 关于矩阵乘法的一个最佳算法[J]. 科学通报, 1990, 35(3): 161-162.

http://qikan.cqvip.com/Qikan/Article/Detail?id=312961&from=Qikan_Search_Index

https://d.wanfangdata.com.cn/periodical/ChlQZXJpb2RpY2FsQ0hJTmV3UzIwMjIwNDE1EhVDQVMyMDEzMDMwNDAwMDAyMzgzNzcaCHUxdmV0bXVq

相关链接：

[1] 2022-06-22，[小结] 我们在概率论、数理统计学方面的主要创新点（和应用）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1344083.html

[2] 2021-09-30，往日（6）：我们对电力负荷预测的一些看法 

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1306311.html

[3] 2022-06-06，1999《哲学研究》一文观点的“一句话”概括

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1341799.html

[4] 2019-12-03，[求证] 噪声有益成因机理分析的国际优先权 

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1208653.html

[5] 2022-06-05，[回忆] 我们的科技类代表性观点（或论文）（3）：高原创部分

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1341672.html

[6] 2022-06-04，[回忆] 我们的科技类代表性观点（或论文）（2）：部分完成或价值待定

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1341531.html

[7] 2022-06-03，[回忆] 我们的科技类代表性观点（或论文）（1）：“常规”研究的部分

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1341405.html

[8] 2020-08-13，傻正式发表过的“文化”类部分稿件的目录

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1246209.html

[9] 2020-07-22，羡慕居里夫妇当初的科研条件

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1243092.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！

——— 附录：数学参考资源网址 ———

（1）苏联数学百科全书 Encyclopedia of Mathematics
      The Encyclopedia of Mathematics wiki is an open access resource designed specifically for the mathematics community. The original articles are from the online Encyclopaedia of Mathematics, published by Kluwer Academic Publishers in 2002. With more than 8,000 entries, illuminating nearly 50,000 notions in mathematics, the Encyclopaedia of Mathematics was the most up-to-date graduate-level reference work in the field of mathematics. 
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page

                                      
（2）NIST Digital Library of Mathematical Functions
      2016-12-21 DLMF Update; Version 1.0.14
http://dlmf.nist.gov/

（3）NIST Handbook of Mathematical Functions Hardback and CD-ROM
      Edited by Frank W. J. Olver
      University of Maryland and National Institute of Standards and Technology, Maryland
      et al.

https://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521192255

http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521192255

（4）Handbook of Mathematical Functions  with Formulas, 

Graphs, and Mathematical Tables (Partially Mathcad-enabled)
      This 1972 book is a compendium of mathematical formulas, tables, and graphs. It contains a very complete table of analytical integrals, differential equations, and numerical series; and includes tables of trigonometric and hyperbolic functions, tables for numerical integration, rules for differentiation and integration, and techniques for point interpolation and function approximation. 
https://app.knovel.com/web/toc.v/cid:kpHMFFGMT1/viewerType:toc/root_slug:handbook-mathematical/url_slug:handbook-mathematical/

（5）Alphabetical Index, MacTutor History of Mathematics Archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/

（5-2）History Topics Index, MacTutor History of Mathematics Archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/

      The links below will take you to individual articles or to index pages for articles on these topics.   School of Mathematics and Statistics  ,   University of St Andrews, Scotland

感谢您提供更多的相关资源！