[苦啊！] 到底为什么“正态分布随机数不能被预报？”

下面是直观的叙述。不知道怎样专业地描述。

一、苦啊！为什么“正态分布随机数不能被预报？”

   学习和思考了好几天，还是不知道“为什么正态分布随机数不能‘被’预测？”

   难道这个问题也像 Gabriel Lippman 所言：

   “每个人都相信指数的误差定律：实验者，因为他们认为它可以被数学证明；而数学家，因为他们相信它是通过观察建立的。”

   The French physicist Gabriel Lippman wrote the following in a letter to Henri Poincare.

   Tout le monde y croit cependent, car les experimenteurs s'imaginent que c'est un theorem de mathematiques, et les mathematiciens que c'est un fait experimental.

   Everybody believes in the exponential law of errors: the experimenters, because they think it can be proved by mathematics; and the mathematicians, because they believe it has been established by observation.

   法国物理学家加布里埃尔·李普曼在给亨利·庞加莱的一封信中写道。

    Tout le monde y croit cependent, car les Experimentaleurs s'imaginent que c'est un theorem de mathematiques, et les mathematiciens que c'est un fait Experimental。

   误差定律（law of errors），是正态分布在过去历史上的曾用名。

二、最大熵概率分布（Maximum entropy probability distribution）

   搜索到（23+1）种可以用最大熵原理（principle of maximum entropy）推导出的概率分布。

https://handwiki.org/wiki/Maximum_entropy_probability_distribution

   难道“最大熵”就算不能被预报？

三、什么是不能被预报？

   （1）功率谱密度为常数？

   （2）延迟自相关为0？

   （3）所有的随机变量？

苦啊！到底什么是不能被预报？

   范剑青、姚琦伟老师在《Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods》的“1.4 What Is a Nonlinear Time Series? （第 15 页）”里说：

   Wold decomposition theorem (p. 187 of Brockwell and Davis 1991), such a formal linear representation exists for any stationary (see §2.1 below) time series with no deterministic components. Although the modeling capacity of this approach is potentially large (Breidt and Davis 1992), it is difficult in general to identify the “correct” distribution function of the white noise from observed data. It is not surprising that the research in this direction has been surpassed by that on explicit models that typically express a random variable as a nonlinear function of its lagged values. 

   Wold 分解定理（Brockwell 和 Davis 1991 的第 187 页），对于没有确定性分量的任何平稳（参见下面的第 2.1 节）时间序列都存在这样的形式线性表示。尽管这种方法的建模能力可能很大（Breidt 和 Davis 1992），但通常很难从观测数据中确定白噪声的“正确”分布函数。毫不奇怪，这方面的研究已被显式模型所超越，显式模型通常将随机变量表示为其滞后值的非线性函数。

   印象该书里也把“正态分布的白噪声”作为不可预测量了。

   用熵（entropy）可以研究“可预测性 predictability”？

   牛顿在南海泡沫（South Sea Bubble） 中损失了两万英镑（相当于牛顿10年的工资）。事后的1720年12月的某天，牛顿在日记写到：

   “我能计算出天体如何运行，但无法计算人们的疯狂。I can calculate the motions of heavenly bodies, but not the madness of people.” — Sir Isaac Newton

难道是因为牛顿苹果长得太丑了？这是从网上搜来的牛顿家的牛顿苹果（Woolsthorpe Manor）。

感谢上面几张图片的原作者和有关人员。

　　牛顿（Isaac Newton）于1643年1月4日生于英国（England）林肯郡（Lincolnshire）格兰瑟姆（Grantham）附近的伍尔索普庄园（Woolsthorpe Manor）。Woolsthorpe Manor, near Grantham, Lincolnshire NG33 5PD, England.

可预测/预报（forecasting/prediction），依旧是个难题！

参考资料：

[1] Normal distribution [EB/OL]. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Normal_distribution

[2] Maximum entropy probability distribution [EB/OL], From HandWiki

https://handwiki.org/wiki/Maximum_entropy_probability_distribution

[3] Gaussian Distribution [EB/OL]- Princeton University

https://introcs.cs.princeton.edu/java/11gaussian/

   The French physicist Gabriel Lippman wrote the following in a letter to Henri Poincare.

   Tout le monde y croit cependent, car les experimenteurs s'imaginent que c'est un theorem de mathematiques, et les mathematiciens que c'est un fait experimental.

   Everybody believes in the exponential law of errors: the experimenters, because they think it can be proved by mathematics; and the mathematicians, because they believe it has been established by observation.

[4] 周涛，2019-03-06，谈谈时间序列的可预测性[EB/OL]

http://blog.sciencenet.cn/blog-3075-1165942.html

[5] Paiheng Xu, Likang Yin, Zhongtao Yue, Tao Zhou. On predictability of time series[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2019, 523: 345-351.

http://ifbic253cb3a601b84ef2so0xo9o6cb6fx6qvc.fiac.eds.tju.edu.cn/science/article/pii/S0378437119301591?via%3Dihub

[6] Dynamical system. Encyclopedia of Mathematics.[EB/OL]

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Dynamical_system

相关链接：

[1] 2021-07-22，[重大困惑] 为什么正态分布随机数不能“被”预测

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1296529.html

[2] 2021-07-25，[阅读笔记] 神奇的正态分布与中心极限定理

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1296916.html

[3] 2021-07-23，[阅读笔记] 均匀分布随机数之和

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1296695.html

[4] 2020-03-28，疫情与牛顿“奇迹年”（链接，意识流）

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1225694.html

[5] 2021-06-15，[求助] 时间序列预测里的回归模型“定阶”、“样本容量”的优化方法

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1291316.html

[6] 2019-06-08，[学习资料搜集] 时间序列（time series）学习书籍

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1183775.html

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