小忆“第2类数学（智能数学）”的提出

   那是1998至1999年的事情了。没有时间核对，以下只是个大概其的记忆。

   1999年《哲学研究》里的“第2类数学（智能数学）”是个通俗的说法，主要是指“第二类数域”、“一般集合上的环”。

一、第二类数域

1.1 定义和构成

   详见2011年《第二类计算机构想》。

   基本意思：

   可以将“一般的几何曲线”定义为“第二类”数。他们满足“域”的要求，可以建立“线性序”。从“基数”、“序数”等要求看，“一般的几何曲线”满足“数”的要求。

   有理数域 → 实数域 →“第二类数域”，是一种自然的发展过程。当然，还可以定义更高复杂性的“数域”。

   《集合论》里早就一个一般集合上以“对称减”为加法、以“交”为乘法构成的“环”。自然也就有了“群”。这里的“一般集合”可以解释为“全体几何曲线”为基数的集合，以及更高复杂性的集合。

   所以“全体几何曲线”上可以构成“群”、“环”和“域”，就此，“第2类数学”的基本基础建立完毕。

1.2 优先权

   “全体几何曲线”上可以构成“群”，就算是克莱因 1872的“埃尔朗根纲领Erlangen program”吧！

克莱因，Christian Felix Klein，1849-04-25 ~ 1925-06-22

https://journals.openedition.org/sabix/1085

   “全体几何曲线”上可以构成“环”，不知道谁提出来的。《集合论》、《范畴论》里一般都有。

   “全体几何曲线”上可以构成“域”，傻，1997年。

二、第二类数域的可能价值

   2013年欧盟大手笔拟投入13亿欧元（约合99亿元人民币）支持“人类脑计划”项目（未来新兴技术旗舰项目）。不过好像是打水漂了。1990年代日本的第五代计算机、美国的自动陆地车辆，也没有达到主要的预期目的。

   实际上，斯佩里等人早就解释出了人脑的信息复杂性。详见斯佩里1981年的Nobel Lecture，《世界科学》1982年有张尧官、方能御老师的汉译。

   人脑的信息复杂性不低于“全体几何曲线”，用数字计算机、模拟计算机难以完全复现人脑的高级智能。

三、第二类数域的提出原因和过程

   记不准了。大概其吧。

   1995年之前发现了“P对NP”的“无穷形式”下的一个解答：NTM可以看成DTM的“幂集”。

   真正的失望！

   既然这样，就应该发展更高复杂性的计算机。比数字计算机、模拟计算机复杂性更高的计算机。这首先得有相应的“计算性”理论。“计算性”理论先得有基本的数学运算。

   现在回头看，很多人都就行了这方面的探索。如人工智能基础里的“定性推理”，在1990年代已经建立了特殊曲线上的环，1997年美国国家科学院院士Ulf Grenander的“Geometries of knowledge”，扎德的“模糊数学”等许多结果，都是第二类数学的萌芽。

   既然这样，就提出“第二类数域”吧！建立以“一般几何曲线”为基本计算单元的新型计算机：第二类计算机。

   现有的数字计算机以“0、1（有理数）”为最基本的计算单元；模拟计算机以“实数”为最基本的计算单元；第二类计算机以“一般的几何曲线”为最基本的计算单元。

   第二类计算机，是一种“场”计算。如早期人们用导电纸测量电场，几何光学 4f 系统，人类佩戴的眼镜，等，都是第二类计算机的萌芽。是现实世界中已有的人工制作的以“一般的几何曲线”为最基本计算单元的物理实体。

   第二类计算机，自然要推广原始的丘奇-图灵论题（Church–Turing thesis）。依据康托的无穷基数第二序列吧（a, c, f, ……）！第一序列阿列夫（aleph）实在说不清楚，就别用了。

四、中国学者的贡献

   王宪钧老师1982年的《数理逻辑引论》：不要迷信丘奇论题。

   王浩老师（美国国家科学院院士）1981年的《数理逻辑通俗讲话》，第158页提出“8.5 分层和统一化”。

   拜读后，不懂。不过，王宪钧老师的观点，实在是重要！

   于是，又想起太上老君的《道德经•第五十四章》“故以身观身，以家观家，以乡观乡，以国观国，以天下观天下。吾何以知天下然哉？以此。”

   既然吴文俊先生能将500年前的《杨辉算法》现代化后用于定理的机器证明，俺为什么不能将《老子》活用一下？于是，借助康托无穷级数第二序列，仿照《道德经•第五十四章》，得到《人类智能模拟的“第2类数学（智能数学）”方法的哲学研究》里的主要结果。

   戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-10-06 ~ 1916-02-12）等人能翻新古希腊的欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 395–390 BCE ~ 342-337 BCE），俺为什么不能翻新《道德经•第五十四章》？

   戴德金、康托、魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815-10-31 ~ 1897-02-19）翻新得，俺就翻新不得？

五、感谢真正的大专家！

   听一位真正大专家说“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的”。“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料”。

   既然如此，“数（数量关系）”和“形（空间形式）”是否可以进行更深层的某种角度、某种程度的统一？这就是敢于提出“第二类数域”的勇气来源。

   难道不是吗？斯佩里等人已经通过认知心理实验证实了。

参考资料：

[1] Erlangen program. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Erlangen_program

[2] Felix Klein | German mathematician | Britannica

https://www.britannica.com/biography/Felix-Klein

[3] 新浪，2019-08-01，欧洲脑计划“打水漂” AI离人类大脑究竟有多远？

https://tech.sina.com.cn/it/2019-08-02/doc-ihytcerm7992287.shtml

[4] Roger W. Sperry, The Nobel Prize in Physiology or Medicine 1981

https://www.nobelprize.org/prizes/medicine/1981/summary/

https://www.nobelprize.org/prizes/medicine/1981/sperry/facts/

[5] Roger W. Sperry’s Nobel Lecture, 1981-12-08,Some Effects of Disconnecting the Cerebral Hemispheres

https://www.nobelprize.org/prizes/medicine/1981/sperry/lecture/

[6] Roger Sperry，张尧官方能御翻译，分离大脑半球的一些结果[J]. 世界科学, 1982, (9): 1-4,64.

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SJKE198209000.htm

[7] 定性推理经典方法的数学结构分析[EB/OL]. 北京：中国科技论文在线 [2005-04-28]. 

http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/200504-178

[8] Ulf Grenander, Geometries of knowledge[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1997, 94(3): 783–789

https://www.pnas.org/content/94/3/783

[9] 王宪钧. 数理逻辑引论[M]. 北京：北京大学出版社，1982

[10] 王浩. 数理逻辑通俗讲话[M]. 北京：科学出版社，1981

[11] 王宪钧_百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%8E%8B%E5%AE%AA%E9%92%A7

[12] 王浩 （近代数理逻辑学家）_百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%8E%8B%E6%B5%A9/22564#viewPageContent

[13] M. 克莱因 M. Kline. 古今数学思想[M]. 上海：上海科学技术出版社，1979-1981

[13-2] Morris Kline. Mathematical thought from ancient to modern times [M]. New York: Oxford University Press, 1972

相关链接：

[1] 人类智能模拟的“第2类数学(智能数学)”方法的哲学研究[J]. 哲学研究, 1999, (4): 44-50.

http://zxyj.cbpt.cnki.net/WKD/WebPublication/wkTextContent.aspx?contentID=&colType=4&yt=1999&st=04

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZXYJ199904005.htm

http://www.cqvip.com/QK/80454X/19994/1002190349.html

[2] 第二类计算机构想 [J]. 中国电子科学研究院学报, 2011, 6(4): 368-374.

http://www.cqvip.com/QK/87495A/201104/39096952.html

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-KJPL201104010.htm

[3] 2020-08-13，傻正式发表过的“文化”类部分稿件的目录

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1246209.html

[4] YANG Zhengling (杨正瓴). A non-canonical example to support that P is not equal to NP [J]. Transactions of Tianjin University, 2011, 17(6): 446-449.

https://link.springer.com/article/10.1007/s12209-011-1593-5

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-TJDY201106012.htm

[5] 2015-05-22，The kernel of "P vs NP Problem": Axiom of power set!

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-892400.html

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