小波、小波相干、交叉小波周期图（样子）

  非平稳时间序列分析中，常用的比较透彻的工具是小波。

  小波（Wavelet）、小波相干（Wavelet coherence）、交叉小波（Cross wavelet）周期图的样子分别请看下面。

一、时间序列的小波周期图

  示例图片来自：

  [1] PyCWT: spectral analysis using wavelets in Python

  https://pycwt.readthedocs.io/en/latest/

  最上面图形是Nino3 区域的海水表面温度的时间序列。中间的绿色图片是该Nino3 时间序列的小波周期图。直观的含义：Nino3 序列在某一小段时间内的周期性（类似成传统的傅里叶功率谱）。

  一般情况下，小波周期图水平轴对应原来时间序列的时间，垂直轴代表变化的周期，颜色代表变化周期的强度。该图里，黄色代表变化周期的高强度。

  该小波图的高亮区域（黄色）可以看出：在1870年到1890年间，有一个周期约为 3.8 年的强变化周期，即黑实线里面的黄色哑铃。1930年到1950年之间，有一个周期约为 1.6 年的较弱的变化周期（几个散开的黑实线黄绿区），以及约为 6 年的周期，即上面连续X形状的黄绿色。

  最下面的时间序列，是从Nino3 序列中分解出来的强周期性变化的时间序列。

二、两个时间序列之间的小波相干、交叉小波周期图

2.1 示例图片来自：

  [2] Rainfall Variability in the Huangfuchuang Watershed and Its Relationship with ENSO

  https://www.mdpi.com/2073-4441/7/7/3243/htm#

Figure 5. Wavelet coherency (a) and cross-wavelet spectrum (b)

  右侧旁边的竖彩条，指示里小波图里颜色代表的变化周期的强度。即红强、蓝弱。对称弯线里彩色区域是 Nyquist-Shannon Sampling Theorem 形成的有效的时间序列变化周期性区域。

  Wavelet coherence (WTC): The WTC finds regions in time frequency space where the two time series co-vary (but does not necessarily have high power). 小波相干WTC在时间-频率空间中找到两个时间序列共同变化的区域（但不一定具有高功率）。

  类似相关系数（Pearson product-moment correlation coefficient）。

  Cross wavelet transform (XWT): The XWT finds regions in time frequency space where the time series show high common power. 交叉小波变换XWT在时间-频率空间中找到时间序列里周期性强度一致的区域。

  类似距离（Euclidean distance）。

  小波相干、交叉小波，可以很好地反映两个不同时间序列变化之间的“相关性”。小波相干，一般反映序列间周期性“变化趋势”的一致性，但不直接反映变化周期的强度关系。交叉小波，一般反映序列间“共有周期”的强度。

2.2 正式的小波相干、交叉小波绘制时，建议将2个时间序列绘制在对应的时间位置。如下图，是一个正式的交叉小波（cross-wavelet）图。

  示例图片截取来自：

  https://www.researchgate.net/figure/Movement-vector-time-series-top-and-cross-wavelet-coherence-bottom-for-a-dancer_fig4_267747362

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