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标幺值和有名值、缩放和中心化；

非线性与随机性；额外误差

   从数学角度看，经过“减法”、“数乘”之后性质仍然不变的系统，一般为“线性系统 linear system”，即同时满足

①“叠加性 additivity or superposition principle”

    f(x+y) = f(x) + f(y)，

和

②“齐次性 homogeneity”

    f(kx) = kf(x)，k≠0是一个实数。

的系统f(·)。

   现实世界里的大多数事物都不具有线性性质。即“非线性”，不满足上面的一条或一条以上的性质。

   对于非线性，特别是带有噪声（随机性）的事物，经过线性变换（如标幺化 per-unit normalization，min-max 标准化 normalization，z-score 标准化 Stardardization，中心化/零均值化 Zero-centered，等）后，信息处理的结果可能会带有一定的额外的系统误差。

   简言之，非线性系统的全局分析时，如果变量使用了线性变换，可能会引起一定量额外的系统误差。好像现在大多数人还没有注意到这点。

温馨提醒：

   数据处理中常用的线性变换有：（1）标幺化 per-unit normalization，（2）min-max 标准化 normalization，（3）z-score 标准化 Stardardization，（4）中心化/零均值化 Zero-centered。

建议：

   对于具有较大波动性（或噪声）的非线性数据，用原始数据进行信息处理，从理论上看具有比“线性变换”后再处理具有更高的准确性。

   可惜目前许多方法不具有直接处理原始数据（如有名值）的良好能力。例如在多变量回归时，不采用标准化等的结果会更坏。原因似乎还不是很清楚，可能与统计量的“置信区间 confidence interval”、多元函数微分 multivariate  Function  Differential、有效数字位数 number of significant digits 等有关。再次呼吁大力发展“小样本统计学”！

推荐阅读：

[1] 邹德虎，2020-01-06，标幺值的必要性 精选

http://blog.sciencenet.cn/blog-3316223-1213112.html

[2] 2019-04-03，归一化（normalization）、标准化（standardization）以及正则化（regularization）比较

https://blog.csdn.net/Castlehe/article/details/88988267

[3] 2018-06-25，归一化 （Normalization）、标准化 （Standardization）和中心化/零均值化 （Zero-centered）

https://www.jianshu.com/p/95a8f035c86c

[4] Feb 2, 2018-02-02, Differences between normalization, standardization and regularization 

https://maristie.com/blog/differences-between-normalization-standardization-and-regularization/

[5] 2019-10-29，normalization, standardization and regularization

https://www.codetd.com/article/7677587

[6] 刘锐，2017-10-10，机器学习里的黑色艺术：normalization, standardization, regularization

https://zhuanlan.zhihu.com/p/29974820

相关链接：

[1] 2018-06-21，慎用“机器学习中的数据预处理：缩放和中心化”

http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=63578

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1132083.html

[2] 对数变换下非平稳时间序列预测误差的解析分析. 计算机应用与软件, 2015, 32(12): 38-41.

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JYRJ201512011.htm

[3] Removing forecasting errors with white Gaussian noise after square root transformation. Journal of Forecasting, 2016, 35(8): 741-750.

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/for.2407

[4] 采用反正切变换降低小波去噪对野值的敏感性. 计算机工程与应用, 2017, 53(10): 241-245.

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JSGG201710042.htm

[5] 2019-06-25，俺在《中科院科学智慧火花》贴出的帖子

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1186809.html

[6] 2018-08-18，“大数据”时期，更渴望“小样本数理统计学”

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1129894.html

[7] 2016-03-07，关于时间序列的“组合预测之谜 forecast combination puzzle”

http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-961080.html

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