如果我们有了一个女儿，再生一个的话，生男孩的概率有多少？

你肯定会说，很无聊的问题，因为生男生女的概率是根据男性的性染色体(XY)决定的，如果与女性（XX）结合后，是XX就是女孩，是YX就是男孩，所以我们的二胎生男或生女的概率应该相同，也就是各占50%。

    事实果真如此吗？

说一个1959年被一个美国人提出来的生男生女著名悖论：假设我们有了两个孩子，总共有四种组合（男孩B，女孩G）：

BB，GG，BG，GB

    假设我们知道了有一个是女孩，所以第一种情况BB可以淘汰，剩下的三种概率相同，所以另一个是男孩的概率应该是1/3+1/3=2/3，即66.7%，而不是上面说的50%。

    意思就是说，如果我们生了一个女儿，第二个是男孩的概率将高达66.7%。

到底哪一个是正确的呢？看似简单，其实有很多逻辑性问题。

    事实上，上一个悖论用传统的概率论（即用频率代表概率）是很难算出来的，如果用贝叶斯的思路，就非常简单。

    今年是贝叶斯提出250年，国际贝叶斯学会有专门的庆祝活动，因为频率论和贝叶斯论争执了足足一百年，还没有休止。

    下面说说贝叶斯是怎么解决这一问题的：

    因为GG, BB, GB, BG的概率都是1/4=0.25，我们记为：

    P（GG）=P（BB）=P（GB）=P（BG）=0.25

    另外，其中一个是男孩的概率和一个是女孩的概率，也就是说两个孩子肯定不同性别，这时概率是0.50，记为：

    P（G.B）=P(GB)+P(BG) = 0.50

    （以上这些在贝叶斯理论里被称为先验概率，就是说根据专家意见或者积累经验形成的认识，这一点是被频率论极为指责的，看不懂，可以忽略这些）

    现在的难题是，至少一个是男孩的概率是多少？（基于我们想要个男孩的愿望）

    我们把一个已知是男孩，另一个也是男孩的概率记为：

    P（BB|B）——意为在B的条件下，BB的概率。

    根据贝叶斯经典公式（推论过程你不需懂了，这个有N多专著在证明下式是成立的）：

    P(BB|B) = P(B|BB) · P(BB) / P(B) = 1 · 1/4 / (3/4) = 1/3

    上式中， P(B|BB)表示在两个都是男孩（BB）的条件下，其中一个是男孩（B）的概率（这是显而易见是肯定存在的，所以此值等于1）；而P（BB）是两个都是男孩，如前面定义的等于1/4；比较特殊的至少一个是男孩的概率P（B）为什么等于3/4?

    因为至少一个是男孩的概率P（B）应该等于两个都是男孩的概率P（BB）加上两个孩子不同性别的概率P（G.B），所以：

    P（B）= P（BB）+P（G.B）=1/4 + 1/2 = 3/4

    现在我们可以放心的说，如果一个已知是男孩，另一个也是男孩的概率是比较低的，只有1/3，即只有33%；换言之，我们有了一个女儿，再生一个还是女儿的概率只有33%，所以再生一个男孩的概率会非常高。

    这么说你肯定高兴了，生二胎，生儿子！

   先别高兴太早，我们接着分析，我们的结果还是和常识不一致啊，生男生女就应该是各有50%才对啊？

    我们仔细来说这个问题，有两种表述：

    （1）董先生和吴小姐的第一个孩子是女孩，生第二个孩子，也是女孩的概率是多少？

    （2）董先生和吴小姐可以生两个孩子，至少一个是女孩，两个都是女孩的概率是多少？

    你仔细想想上面两个表述一样吗？

    这是1959年美国人的原始问题改述。

    其实前面的分析是偷换概念了，我们明明分析的是第二个问题，而不是第一个问题！

第一个问题的答案还是1/2，而第二个问题的答案按照分析是1/3.

    看来我们二胎生男孩的概率又回到了1/2，失望了吧！

    别急，我们接着分析。

    第二个问题的结果肯定是1/3吗？

    不一定。

    首先，我们认识问题是非常模糊的，你说“至少一个是女孩”你有什么依据？基于确切的文字和可能的假设，其实都是模糊的，模糊性已被2004年Nickerson的专著，中文译为“认知和机会：概率推理的心理学”一书所证明，还有最近更多文献在讨论这个模糊性。在此不论。

    再次，第二个问题什么时候和第一个问题是等价的呢？只要我们在第二个问题定义时，说“至少一个是女孩”，我们就指定第一个必须是女孩。此时，两个问题其实是同一个问题。第二个问题的答案应该还是1/2，而不是1/3.

    最后，还有一个随机取样的问题，这又是概率论上另一个大的领域，到底有没有真随机？很多大科学家是倾向于没有真随机（比如牛顿，逝世前用了10多年要证明上帝是存在的，没有证明完就去世了，很可惜），他们认为只有伪随机的（我们做风险评估的，都是用的伪随机，比如蒙特卡罗取样，我是坚决认为世界上存在真随机的，毕竟我从事的是实证科学，要否定上帝的存在），他们认为世界是由上帝置骰子决定的，这是科学和哲学（或者更高的神学、玄学之争），在此不展开，我们用两种表述随机性来说明第二个问题：

    （1）在所有有两个孩子的家庭中，每个家庭中至少一个是女孩，家庭的选择是随机的，那么第二个问题的答案就是1/3.

    （2）在所有有两个孩子的家庭中，孩子的选择是随机的，其中一个孩子的性别是指定的（女孩），那么第二个问题的答案就是1/2.

    你仔细想下，上面两个表述是不同的。

    但是也有很多学者认为上面两种定义随机性的表述也是模糊的（证明没有找到），他们的理由我来通俗的翻译：

    你到有两个孩子的家庭里，看见一个是女孩，另一个躲起来了，你不知道男女。这个时候，这种情况其实就是第二个问题说的“至少一个是女孩”。但是不一定符合第一个问题，因为你看不到第二个孩子，如果你看到第二个孩子是男孩，就不匹配第一个问题了。

    所以说，你看到第一个是女孩，其实是命题的充分条件，而非必要条件。

    （补充下数学知识，如果A成立，导致B成立，A叫做B的充分条件，B叫做Ａ的必要条件；如果A成立导致B成立，同时B成立也导致A成立，A叫做B的充分必要条件）

    争议的来源其实主要来源于我们表达的“至少”，人类语言受限，什么叫“至少”？你到别人家里看见一个女孩，确定她是个女孩，这叫“至少”一个女孩吗？如果从取样的角度说：是以下哪种情况：是从一个群体中，发现一个女孩，而后把她“取”走，再替换一个新人，这叫“至少”；还是从群体中发现一个女孩，不“取走”她，继续再在这个整体中寻找发现（有可能还发现是同一个女孩），这叫“至少”。

    以上两种情况，以我做风险评估的理解，所谓取样应该是第一个解释是对的。

    下面我们再用贝叶斯理论来解释刚才这个说明，你就会知道贝叶斯是多么伟大了，为什么被SCIENCE期刊称为“永不会灭亡的理论”。

    按照前一封邮件的贝叶斯方法，我们把表述“这个孩子是男孩”记为b，那么仍然根据贝叶斯经典公式，下式是必然成立的：

    P(BB|b) = P(b|BB) · P(BB) / P(b) = 1 · 1/4 / 1/2 = 1/2.

    意义同前。唯一不同的是P(b)是何意？我们把它看做是从所有可能的情形中取样，发现是男孩的概率（注意这里没有说“至少”），此时肯定的是P(b) = 1/2

    贝叶斯巧妙的绕过了人类语言中“至少”这一模糊性，利用先验概率（还记得前面提到的这个概念吗？），我们来个预先可以肯定的共识（或者是公理吧），即两个孩子都是男孩、都是女孩、或者一男一女的概率各为1/3，用数学式表达就是：

    P(GG) = P(BB) = P(G.B) = 1/3.

那么在这种情况下，“至少”这一假设产生的结果就是P(BB|B) = 1/2 （差不多可以对应上面说的第二个问题的第二种表述“孩子的选择是随机的”）

    同时，在这一情况下，取样假设后的结果是P(BB|b)=2/3.

我们把刚才的问题扩展一下，假设你来投资下赌注。

    你投资1块钱，假设别人家生了两个孩子，如果两个都是男孩，你就会赢4块钱来。

    下面两种情况，哪一种你会更开心：

    （1）知道其中一个是男孩。

    （2）知道其中至少是一个男孩（呵呵，又是“至少”）。

    毋庸置疑，按照常识，第二种的概率更低。其实上面两种情况正好对应着前面的两个问题，结果当然是不同的。

    下面换为数字，如果我们赌其中一个孩子是男孩，并且赢了，投资就会翻倍（即赢2块钱来）；再赌第二个孩子是男孩，如果能赢，投资再翻倍，就会赢4块钱了，所以赢的概率，应该叫赔率1:2.

    第二种情况，如果我们知道其中至少是一个男孩，我们的投资会追加，因为我们有一定把握了，我们目前的1块钱，实际“身价”已经是4/3块钱了，要真正赢回4块钱，我们必须增加财富的3倍（即4/3乘以多少等于4块钱？），所以，赔率是1:3.

    以上分析，不是我原创的，它叫Martingale分析法。

来继续挑战下思维吧。

    我们把问题再变化下：

    假设我们有了两个孩子，有一天我带女儿路上遇见我大学同学，这时我自豪的对他说，这是我的女儿，问题：我的另一个孩子也是女孩的概率是多少？

    这个问题的答案当然和前面是一样的，概率是1/2.

    但是，这和前面的问题是不同的，在我带女儿路上遇见大学同学前，同学是知道我有两个孩子的，但并不知道是两个男孩（BB）、两个女孩（GG），还是一男一女（BG或GB）。所以我大学同学知道我有两个女儿的概率是1/4，这时经我介绍我的女儿后，他知道我有一个女儿了，会把两个男孩（BB）的可能给直接排除掉了，我只可能在剩余的三种情况里选择：两个女孩（GG），或者老大男孩、老二是女孩（BG），或者老大女孩、老二是男孩（GB）。那么，我有两个女孩的概率只能是上述三种情况的一种，即1/3.

    为什么又出现了上面说到的两个答案不一样？

    首先我们要做个假设，我们有两个孩子，带谁出门是随机的。那么如果我带出来的孩子是女儿，此时我有两个女孩（GG）的概率应该是一男一女（GB或BG）的两倍，此时因为我已经带出来是女孩了，我有两个男孩的概率降为0，可以排除这种情况。我带出来女儿，另一个是男孩，或者另一个是女孩，这两种可能性相等，各占1/2.

    再次，我们来做个假设，我当爸爸的就愿带女儿出门（女儿是爸爸上辈子情人吗，呵呵），因此带女儿出门的概率提高，在这种情况下，我不管是有两个女孩（GG），还是一男一女（BG或GB），都会倾向于带女儿出门遇见大学同学，这时我另一个孩子是女儿的概率也是1/3.

    看吧，上面两种情况是不是正好对应前面说的两个问题？

    当然以上的问题也不是我首先想到的，是两个人Bar-Hillel和Falk在1982年提出来的。

再来看另外一个经典问题，是Vos Savant在1996年首先想到的：

    有一个女人和一个男人（两人不认识，生活也没有交叉），他们各有两个孩子，我们已知女人至少有一个是男孩，而男人家老大是个男孩。问题是：女人家有两个男孩，和男人家有两个男孩的的概率相等吗？

    如果你理解了上面的各种情况，你会立刻知道答案应该是女人家1/3，男人家1/2.

为了验证，Vos Savant居然真的调研了 17946个有两个孩子的女人，发现至少有一个是男孩，另一个也是男孩的比例是35.9%，非常惊人的接近1/3！（其实按照数学极限理论，这和抛硬币是一样的道理，样品越多，越接近总体，即越接近理论极限值）。

但是，我们必须明白，我们以上的计算都是基于男女性别是独立的，即男女出现的概率相同（和贝叶斯的先验一样），但是实际上，按照中国传统，男孩比女孩更受欢迎，导致男女性并不独立，或者说二胎的性别并不独立于一胎的性别。如果调研来验证，会出现极大的偏差。

根据前面的分析，我们发现数学都是“冷冰冰”的，一点都不温情。似乎是没有正确答案。

    这个生男生女的悖论问题还引起很多心理学专业的思考，比如Fox和Levav在2004年用两种表述来测试看人们怎么“估计”概率：

    （1）我有两个孩子，其中至少一个是女孩。另一个也是女孩的概率是多少？

    （2）我有两个孩子，但是不会是两个都是男孩。我两个孩子都是女孩的概率是多少？

    那么，这两种表述其实是给人有心理暗示的，第一个表述似乎是暗示读者只有两种可能结果（要么男孩、要么女孩），因为我问的是“另一个”，只能二选一，这是一种误导；第二种给人的印象是一下子就跳到了四种可能性，一种已经排除了（都是男孩），剩下有三种，所以只能三选一。

    Fox和Levav实际调研后发现85%的读者会认为第一个问题答案是1/2，而仅有39%的读者会认为第二个问题答案也是1/2. 所以心理学解释是这属于先入为主的诱导式问题，让你自然向目标答案靠近。

   以上我主要根据英文维基、概率论教材等材料写成，以及自己的一些思考认识，因为非数学、统计学专业，理解不对的地方请专业人士指正。