弗雷格的梦想被罗素悖论粉碎了。他非但没有去解决，反而说了句风凉话，我碰到这个倒霉的悖论别人也跑不掉。后来罗素悖论还是经过罗素及后面的逻辑学家慢慢地进行了补救。因此，从数理逻辑上讲，尽管弗雷格很重要，但更重要的是在哲学方面。而在数理逻辑这条道路上要看罗素，他抛弃了弗雷格的符号，采用了新的符号体系，并将数理逻辑推向新的高度。莱布尼茨没有完成体系性的工作，但还是给出了构想和最初的尝试。弗雷格完成了莱布尼茨的初步构想。后面大量的技术性的工作主要是罗素完成的。因而要把莱布尼茨和罗素串起来，即他的逻辑代数而至罗素三大卷的《数学原理》集大成。罗素实际上也把莱布尼茨认作数理逻辑的先驱，在《西方哲学史》中对莱布尼茨的哲学他有这样的评价：“他又是数理逻辑的一个先驱，在谁也没认识到数理逻辑的重要性的时候，他看到了它的重要。”

西方的逻辑第一阶段始于亚里士多德的《工具论》。亚里士多德的成就在于用字母AEIO表示命题。但为什么这里不讲亚里士多德，而讲莱布尼茨和罗素呢？就是因为从莱布尼茨到罗素，逻辑发生了变化。所以要从第二阶段开始讲。莱布尼茨-罗素传统，成就了整个一阶谓词逻辑，即实质蕴涵系统。第三阶段是美国逻辑学家C.I.刘易斯写的《符号逻辑论》成就了现代模态逻辑，形成严格蕴涵系统。从此西方的形式逻辑体系构造完成了。以后没人再构造逻辑体系了。这是西方学术的精华，我们从来没有搞出来，是需要向西方人学习的地方。

从莱布尼茨到罗素，被称为逻辑主义。逻辑主义的源头也要追溯到莱布尼茨。虽然莱布尼茨自己没这么说。但是到了罗素他却将逻辑主义发展到了极致。逻辑主义的主张可以简单表述如下：

“通过分析来达到越来越大的抽象性和逻辑的简单性，要研究我们能否找到更为一般的思想原则，所以这些思想和原则出发能使现在出发点的东西得以定义和演绎出来。”

罗素的这种目的能否达到？数学是这样的一种研究，它可以按两个方向去进行一个比较熟悉的方向是建设性的，即不断增大理论的复杂性……另一个是不很熟悉的方向，这就是通过分析来达到越来越大的抽象性和逻辑简单性，这里所考虑的已不再是从怎样的假设出发可以定义或演绎出什么结果的问题，而是研究我们能否找到更为一般的思想原则，从这些思想和原则出发，能使现在作为出发点的东西得以被定义或演绎出来。

他接着说：“应当以一些已被普遍承认了的逻辑前提出发，再经过演绎而达到那些明显的属于数学的结果。”即把数学归于逻辑，这就是逻辑主义的出发点。但逻辑主义并没有完全成功，在《数学原理》中用到了集合论的选择公理和无穷公理。可是这二条公理是存在公理，而非逻辑公理，虽然推出了大部分数学，但却没有将数学划归为逻辑，而是划归为有矛盾的集合论。数学归化为逻辑的尝试没有完全成功。罗素为什么没有从皮亚诺的五条公理，推出整个数学而非要借助无穷公理和选择公理呢？因为没有无穷公理自然数就构造不出来；没有选择公理原来的数学定理就要砍去一大批。那还叫什么逻辑主义呢？所以一开始他们在逻辑主义的工具当中也是没办法，要避开无穷公理和选择公理遇到的难题，就采用了“如果……那么……”的条件句，是因为没办法。我们编程序的框图都是这样构成的。这就是实质蕴涵蕴含系统。

实质蕴涵早在古希腊就有了，从逻辑学的角度看，如果p，那么q。p真，q真或q假。在逻辑学中，“如果……那么……”属于假言命题（或称为条件句）的连接词。假言命题“如果p，那么q”是一种复合命题。假言命题的连接词都是实质蕴含。假言命题常常引出一些怪论。统称为“实质蕴含怪论”举个简单的例子，如果1+1=3，那么8+9这个命题就是真的。这就是一个典型的“实质蕴涵怪论”。到了罗素这里，他提出的实质蕴涵以来，导致了一系列不符合人们日常思维的习惯的理论。其核心内容是：一个假命题蕴涵任意命题，一个真命题为任何命题所蕴涵。

由于人们对实质蕴涵的那些“怪论”不满意，美国哲学家C.I. 刘易斯于 1918 年又构造出来一套“严格蕴涵系统”。其中用到了“可能”和“必然”模态算子，形成了狭义模态逻辑。近代模态逻辑的起因是为了解决实质蕴涵怪论。刘易斯的严格蕴涵理论是现代模态逻辑的实质性起点，在现代模态逻辑的创立和发展过程中发挥了非常重要的作用。刘易斯目前的模态逻辑有多种不同的系统（主要是公理的不同） ,各个系统有着错综复杂的关系，甚至有的系统并不是为了解决某些问题，而仅仅是为了某些形式上的需要而建立，这些使的对模态逻辑的争论尤为激烈。甚至受到很多逻辑学家的攻击。但严格蕴涵系统也还是没有解决类似于实质蕴涵系统出现的那些悖论，反而激发出了广义模态逻辑，等于“打开了潘多拉的魔盒”从此再也没人构造系统了。

广义模态逻辑就是增加更多的模态算子。它指众多增加不同一元算子的逻辑系统的总和，这些算子主要有“知道”“相信”“应该”“允许”等，目前这些逻辑系统除了通称广义模态逻辑外，还有自己单独的名字，如：认知逻辑、义务逻辑、时态逻辑等。关于逻辑哲学问题有很多方面的内容，目前几乎对于这些问题中的每一个各个学者都有自己不同与其他人的观点和看法，在其中要想找到统一的理论解决这些问题甚至是其中的某几个或者一个问题都很难，因为这其中不单纯是逻辑学的问题，要关系到逻辑哲学、世界观，例如有唯心主义，有唯物主义。

我们说，形式传统的三个传统的句法都有了。可是唯独模态逻辑缺乏语义学。模态逻辑没有语义学，就无法找到用武之地。那么说的模态逻辑的语义学，我们还要回到莱布尼茨。是他首次提出“可能世界”这个概念的。他说：

“上帝心中必然和永恒都包含着他可以创造的无穷多个世界，而上帝选择这些世界中最好的作为现实世界创造了它。”

这就是莱布尼茨关于“可能世界”的原话。现代模态逻辑的形式系统已经构造出来了。当时年仅16岁的美国逻辑学家克里普克，根据莱布尼茨可能世界的思想，写出一篇划时代的模态逻辑语义学的论文。当时他的工作被一些著名的逻辑学家认为，该文章可能是来自普林斯顿大学的博士论文。其实那时克里普克还在念中学。克里普克构造的语义学被称为“关系语义学”。目前，新构造出语义学依然要与“关系语义学”兼容。

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