数是抽象的，也是具体的；数不一定是实在，但实在的世界似乎是按照数来展开的。外尔 (Hermann Weyl) 的《对称》 (Symmetry)，让我着实体会了数的美妙世界。

 对称，在我们的日常生活用语中，就是匀称、平衡的意思，是指事物各部分相互协调，构成一个整体。外尔则把这个概念加以抽象，从最简单的左右对称(bilateral symmetry) 开始，步步深入到旋转对称 (rotational symmetry)，平移对称(translational symmetry)，全等(congruence), 相似(similarity)，正常旋转(proper rotation)，反常旋转(improper rotation)，循环群(cyclic group)，二面角群(dihedral group) … 外尔的抽象思维似乎可以无限伸展，最后进入到N维的空间。

 外尔在进行他的抽象思维的时候，采用的是现实世界中生动的具体事例。循着他的诱导，我们也可以借助“对称”这个概念，体验和认识丰富多彩的世界：不管是自然的还是艺术的；生命的还是非生命的。

 外尔指出，“人类自古以来就试图用对称的概念来理解和创造秩序、完美（第5页）。”古代的艺术，从苏美尔拉加什古城(City of Lagash)的纹章图案，到波斯的彩釉司芬克斯，从古希腊波利克莱托斯 (Polykleitos)的人体雕塑，到意大利拉斐尔的宗教壁画，无不体现对称的原理。对称，是人类审美的最基本的原理；对称，它所表现出来是公正、中庸和权威；对称，是上帝创造世界所遵守的基本法则。

祈祷的男孩，古希腊，约公元前300年

拉加什古城的纹章，苏美尔，约公元前2700年

其实，如果真是上帝创造世界，上帝恐怕也只能选择对称这个法则。牛顿抱定他的绝对时间和空间，认为运动是上帝存在的明证，否则天上的太阳、月亮和星星凭什么是这样运动而不是那样运动？但是如果从对称的角度来看，位置、方位、左右，本来就不是绝对的，而是相对的。空间没有哪个方向或哪个位置比另外的方向或另外的位置更加特别。所以上帝似乎也不必肩负这么大的责任，要用自己的意志来为世界的形成选择偏好。

 球是最完美的对称。按照对称的原理，所有的生物一开始应该是球形的。但是生物生活在各种偶然的环境中：有重力，于是球对称变成了轴对称；有阳光，于是有了背部和腹部。对很多动物而言，包括我们人类，左右对称还是保留了下来，我们有双眼，有双臂，有双脚。如果人类进一步造孽，破坏我们的环境，说不定哪天人类将成为单脚蹦跳的独眼龙，连左右对称都失去了。

对称也不是绝对的。生命体要发育，要生长，就必须打破一些对称。人体就是一个很好的例子。在外表上，人体是左右对称的。但是体内的器官就不是这样了。人体要吸收营养，肠子就不得不长得很长，空间布局就顾不上对称了。还有人体的心脏，绝大多数是长在左胸，本身也不是对称的。

 但是，对称的破坏也不是绝对的。心脏的形状虽然看起来不对称，但却符合更广意义上的对称。外尔把它称作“螺旋” (screw), 背着壳的蜗牛就是一个典型的螺旋。空间中左右并没有本质的区别，所以左旋转和右旋转本来应该是等同概率发生的。但是不知什么原因，导生命体的“螺旋”产生了偏向，人类人体内包含了右旋的(dextro-rotatory) 葡萄糖和左旋的(laevo-rotatory)果糖。要是人体内的新陈代谢把这种基因性左右旋搞错了，那就会产生非常可怕的疾病，叫做“苯丙酮酸尿症”(phenyketonuria)。

在有机的自然界，对称原理也是无处不在起作用，它对动植物种系发生和个体发生都发生作用。植物界多彩美丽的鲜花，展示的是各种循环的对称，如鸢尾属植物花朵的三对称，还有更普遍的五对称。低等生命也展示旋转对称，如水母。在无机的自然界，雪花、冰花、晶体，展示了各种各样的对称。开普勒认定宇宙是和谐的，所以要用对称的几何体解释我们的宇宙。

水母

冰花

  外尔试图用对称原理来理解当时物理学上最新理论：相对论和量子力学。相对论与对称有什么关系？要研究空间中几何形状的对称性就必须先研究空间本身的对称性。空间是高度对称的，空间中的任何一处与它处没有本质的区别。如莱布尼兹所说，所谓相似，就是在各自本身的框架下来看，两样东西没有区别。例如，平面上的两个正方形，如果考虑它们之间的关系，那确实有很多不同，比方说它们的某一边的朝向就不同。但是就每个正方形本身来说，它们完全相似，不能把一个与另一个区分开来。那客观性从何谈起呢？外尔采用亥姆霍兹的做法，在几何相似群中引入一个亚群：全等群。在普通几何中，长度是相对的，扩张就包含在形状的自同构变换中。但是原子和基本粒子的结构中已经包含了绝对的长度标准。所以，两个参照系，只有当其中的所有的几何关系和物理定律都能用同样的代数来表达时，这两个参照系才是等同的。实现在两个同样可以接受的参照系之间的变换构成了“物理自同构”群。爱因斯坦相对论的贡献在于：他找到了包括时间维度在内的四维“空间”结构的“物理自同构”群，也就是所谓的洛伦兹群。

 至于量子力学，在外尔看来，对称在原子和分子谱线的分析上起了很大的作用，而解释原子的光谱是量子力学最大的成功。量子力学成功地解释了氢原子光谱的巴尔末系 (Balmer series)，并且证明其中主要的物理常数是与电子的质量、电荷以及普朗克常数相关。此后量子力学在光谱理论上取得一个又一个的成功，并导致了重大的发现：电子的自旋和泡利不相容原理。外尔向我们证明，一旦物理上的基础确定下来，他就可以用对称的原理构造出描写这个物理的数学。数学和物理之间好像天生就是相通的。数学上的可能，说不定就成为物理学上的真实。  

读外尔的《对称》，感觉是在享受思想的盛筵。他博古通今，旁征博引，转换于生命的与非生命的、现实的与虚构的世界，引导读者从简单的概念出发，发挥思维的力量，达到认识的新境界。

Hermann Weyl. Symmetry. Princeton: Princeton University Press, 1952.

附记：这篇读书笔记是配合我最近开设的《天文学史研讨班》研究生课程所作。我们讨论古代的“天人世界”，“对称”、“和谐”也是重要的概念。不妨可以研究一下“对称”如何体现在中国古代对天、对人、对社会、对政治的思维之中。