提起量子力学，大家熟悉的总是那屈指可数的几个传奇人物。但是，本文要讲述的是一个名气不那么大的，但是对新量子力学（指heisenberg和schrodinger的量子力学，区别于bohr的旧量子力学）在关键时刻贡献巨大的挪威物理学家Hylleraas的故事。  

Bohr的量子力学很伟大。但是，其缺陷在heisenberg和schrodinger发展新量子力学的时候，已经广为人知。问题就出在氦原子上面。Bohr的量子力学处理单电子的问题，如氢原子，氦离子等系统，非常令人满意。那好，接下来该处理两电子或者多电子系统了。但是，问题立马就出来了。大家知道，Bohr的氢原子模型是依赖于电子周期轨道的存在性的。这便是一个严重不足，因为对两体或者多体系统，周期轨道是否存在不确定；即便存在，也很难构造。当年很多牛人给氦原子的量子电子构造了各种周期轨道，也就是给氦原子构建了各种不同的模型，但是算出来的氦原子基态能量都跟实验差距巨大。后来得过奖的van vleck在1922年的一个文章里总结了前人的各种模型，然后绝望地表示，现有的物理学可能需要某种根本性的变革。

这个变革就是新量子力学，也就是所谓的波动力学，按照schrodinger的图像的话；或者叫矩阵力学，按照heisenberg的图像的话。在这个新的框架下，电子被视为一团波，而不是一个质点，人们也就再也不需要去构建周期经典轨道了。对此，heisenberg非常得意。

伟大的schrodinger在1926年提出以他命名的方程后，当场干净漂亮地解决了氢原子问题，所得能谱跟老量子力学一致。那好，接下来该用氦原子来检验这个新的理论，新的方程了。哈密顿量很容易写出来，但是貌似不再有解析解了。自然的想法便是变分法。再一次，很多牛人，比如heisenberg，slater等都在考虑这个问题。但是，再一次，氦原子对量子力学形成了巨大挑战------人们死活不能从schrodinger的方程里得到跟实验吻合得足够好的基态能量！误差大大超过实验允许误差。按照hylleraas本人的说法，误差大到可以否定schrodinger方程对多电子系统的适用性！

在这个关键时刻，hylleraas作出了他一生最重要的贡献。他注意到，在基态下面，氦原子的两电子波函数必定只是两个电子到核的距离，以及两电子之间的距离的函数。由核以及两个电子可以构建一个三角形，波函数只依赖于这个三角形的大小和形状，而与其在空间中的取向无关！据说hylleraas后来遇到了伟大的wigner，告诉wigner这个想法后，wigner当场说，那是一个s波！

注意到这点后，hylleraas考虑将hamiltonian改写成仅仅依赖以上三个距离的形式，然后便得到一个大大简化的基态能量估计表达式。这个表达式里，只涉及到一个三重积分，在适当的变分波函数下，积分很容易解析地进行。更重要的是，hylleraas的方法可以系统地改进，无非增加多项式的阶而已。在当时的条件下，hylleraas凭手算，就已经得到了跟实验值在千分之0.09的理论估计！

从此，人们可以安全地对多电子原子使用schrodinger方程了！

hylleraas的这个及时的工作发生在1928-1929年间。虽然离schrodinger提出他的方程只有2-3年，但是考虑到在1926年后，量子力学以光速发展，这期间物理学家其实被氦原子折磨得不轻。这是他一生最重要的工作。他之后再无重要工作，甚至都很少发文章。但是，做研究的意义不在发很多文章，而在至少有那么一件不朽的工作。

于我个人，其实两年前我根本没听说过他。个人之所以对氦原子发生兴趣，从而对hylleraas有所了解，只是因为不小心我们研究过一个非常简单的两体问题:

Bound States in the Continuum Realized in the One-Dimensional Two-Particle Hubbard Model with an Impurity

Bound states in the one-dimensional two-particle Hubbard model with an impurity

Integrability and weak diffraction in a two-particle Bose-Hubbard model

由此我们不经意间进入到原子分子物理领域，进而了解到早期量子力学发展的值得回味的历史。

Hylleraas处在德语统治学术圈的时代。他的两个文章都在德国的zeitschrift fuer physik上面。为了读懂他的文章，我还专门请了德语私人教师。文章开门见山，单刀直入，处处闪耀着智慧的光芒。

hylleraas_1929.pdf

hylleraas_1928.pdf

对氦原子感兴趣的，可以看bethe的名著quantum mechanics of one and two electron atoms.

读这本书，还可以了解到另外一个两电子体系，也就是大名鼎鼎的氢负离子。与之相关也有很多传奇人物传奇故事。这个以后有时间再讲。等不及的可以看我们上面的第二个文章，在introduction里我们有些许介绍。