学过量子力学的都晓得slater波函数。一个feimi子系统的最简单的波函数就是slater波函数，或者说slater波函数是满足反对称条件的最简单的波函数。  

但是，一般而言，如果系统存在相互作用，系统的基态或者其他本征态就不是slater波函数。这样，一个自然的问题就是，对给定的fermi子波函数，也就是一个反对称的波函数，我们可以用slater波函数逼近它到什么程度？类似的逼近问题在数学里很常见。比如著名的weierstrasse定理：在闭区间【a,b】上的任何连续函数都可以用多项式逼近到任意精度（在范数L1的意义下面）。

这里很自然地，我们取内积的大小作为判断两个波函数接近与否的标准。如果一个fermi子波函数可以用一个slater波函数非常好地逼近，那么这意味着其中的fermi子之间的纠缠很弱------它们只满足最低程度的纠缠，就是必须反对称。相反，如果一个fermi子波函数很难用一个slater波函数来逼近，具体而已，即便最优的slater波函数与其内积也远远小于1，那么这意味着其中的fermi子纠缠很强。这便提供了一个对全同粒子系统的纠缠度的几何度量。

最早做多体系统纠缠度的几何度量的是一个台湾人。他们在03年有个pra引用貌似在400次作用。多体系统的纠缠度的度量一直是个难题，争议很多，不同的人有不同的度量。对全同粒子系统，一个额外的问题是如何处理全同性。纠缠度的几何度量相比其他度量有很多优势。第一，全同粒子被全同地处理。在做通常的基于schimidt分解的纠缠度的度量时，人们有意地忘记粒子的全同性，而将他们当作可区分粒子对待，只不过系统波函数处在某个具有很强对称性的波函数里。而几何度量就不存在这个问题。拿上面的fermi子系统来说。系统波函数是全反对称的。而用来逼近它的波函数也是全反对称的。无论在目标波函数里，还是在用来逼近的slater波函数里，fermi子都是处在同等地位的。第二，几何度量有更合乎直觉的结果。对fermi子而已，反对称性是必须满足的，所以波函数最简单也是slater波函数。但是，按照通常的基于schimidt分解的纠缠度的度量，即便在slater波函数里，粒子之间也有纠缠。而slater波函数是无相互作用fermi子系统的本征波函数，所以这在物理上不合理。相比之下，按照上面的几何度量，slater波函数里纠缠度为0.

对一个给定的fermi子波函数，如何寻找其最佳slater逼近，这貌似是个很基本的问题。可是，直到最近才有人开始探讨。我们之前有个文章有迄今最简单最高效的算法：

Optimal multiconfiguration approximation of an N-fermion wave function

最近我们用这个工具考虑了laughlin波函数里电子的纠缠。分数量子霍尔系统是个典型的非fermi液体系统。laughlin波函数本质上不同于slater波函数------它不存在电子一个一个填单粒子轨道的图像。

而laughlin本人也就因为提了这个波函数拿了奖。

我们得到的结果如下。横轴是电子数。纵轴是内积之自然对数。数据可以很好地用一条直线来拟合。有趣的是，不存在crossover区域，也就是线性行为区域覆盖了粒子数最少的情况！