前几天在网上看视频，发现原来这是一个源自牛顿的经典几何问题：

给点一个半径为1的刚球，在其周围最多可以放多少个同样半径的刚球，使得所有这些周边的球都与其接触？

牛顿当时跟另外一个数学家为这个问题有争论：牛顿认为最多12个，而那个数学家则认为是13个。

让我感触的是，过去我曾经也考虑过一个问题。那是在初中的时候，我在奥赛班，一天到晚做几何证明题。固然有些几何题讨论的问题难而不基本不重要，但是还是有很多题讨论的问题非常基本非常有趣。受这种问题的熏陶，那时候我看任何东西都想到几何。村里有个台球桌子。每次开球的时候，15个球被紧密地框在一个正三角架子里。这个情景促使我提出了这样一个的问题：

一个半径为3的球壳里最多可以放几个半径为1的刚球？

记得那是一个冬天的早上，我和我父亲躺在床上相互暖脚，然后我们讨论这个问题。我父亲虽然只上过小学五年级，只是在做木工的时候知道勾股定理，相似三角形等，但是他也对这个问题表示很有兴趣。当时我们都感觉13个球是没有问题的------先将7个小球按照三角晶格摆在桌面上，然后在上下层各摆3个。

回到学校后，我又和数学老师讨论这个问题。在纸上，我们很快确定，之前猜想的构型是合法的。不过，我们并没有深入追究这是否是最大值。凭感觉如此，我们也就打住了。

这个问题与牛顿的问题有点联系。显然，任何一个牛顿问题下的合法构型也是我们的问题的合法构型。反之则不一定。

当年牛顿和另外一个科学家的争论来自一些空隙。在他们的问题中，可以把12个外接球摆成一个正20面体，这样相邻的球之间有空隙！所以不确定是否可以再挤进一个球！

这个问题直到1953年才被解决。两个数学家（其中一个貌似是著名的范德瓦尔登，他有著名的近代代数教材，也有著名的群论在量子力学中的应用一书）。他们证明牛顿是对的。

牛顿的问题可以被推广到任意维度，这就成为所谓的 kissing number problem

wiki上的这个帖子不错：

http://en.wikipedia.org/wiki/Kissing_number_problem

牛顿的问题的另外一个推广的路子是，假设外接刚球的半径任意（不再固定为1），问最多可以摆多少个。这也是一个有趣的问题。数值上貌似有人用monte carlo方法来研究。

当然了，我的问题也可以推广，就是把大球半径3换成任意值。