最近跟一个朋友谈到审稿意见的问题，我就说千万别把审稿人当大牛，很多时候审稿人的意见很白痴的。我给他举了一个我自己遇到的有点蠢的意见。有次有个审稿人说我们的数据可能有误。为什么呢？我们有两个量，姑且记为x和y，它们满足关系x^2 + y^2 = 1。然后审稿人说你看，你们有些数据在x显著非零时，y非常接近1。

可是这是完全合理的啊。作参数化，x=sin a， y=cos a。在a接近零时，x约为a，而y则约为1-a^2/2。所以x对0的偏离是a的一次方的量级，而y对1的偏离是a的平方的量级。

看看具体的例子，当x=0.1时，y=0.995；当x=0.2时，y=0.980。

关键是，sin函数在零附近是近似线性的，而cos函数在零取到极大值所以是近似抛物线的。这就意味着，在零附近，sin函数变化快，而cos函数变化慢。

这点简单的数学有不少实际意义。

最近大飞机（具体而言是飞机发动机）是个热门话题。记得arnold在某本书里曾有一个有关飞机发动机的习题是这样的。民航用飞机发动机是挂在机翼下面，为避免其排出的尾气对机尾造成不良影响，工程师考虑将发动机稍微偏置一点角度a，可是这样就会导致推力减少。但是这不构成问题，因为推力的损失是1-cos a，而尾气偏离位置是sin a，所以完全可以取一个合适的角a在避免尾气的问题的同时让推力的损失不大。

再比如，中午的太阳非常刺眼，而早晨和傍晚的太阳则很柔和可以直视。这背后的原因也在上面的数学事实。图一展示的是地球和其大气层。中午时候，太阳光在大气层中走过的路径是BC，正比于1-cos \theta; 清晨和傍晚时候，阳光在大气层中走过的路径是AB，正比于sin \theta。地球半径远远大于大气层的厚度，所以角theta很小，按照上面的近似，中午时候阳光走过的路径比朝夕时候阳光走过的路径小一个量级。事实上，如果取地球半径为6400公里，大气层厚度100公里，那么AB/BC约为根号下128，即大于11。如果取指数衰减率，这11倍的路径差距导致的强度差距可能非常可观。

由于同样的原因，你会发现，在削苹果时，尽管苹果皮很薄，截面却很大。

还有一个例子是博主最近打台球遇到的。有不少学生打球神准，但是他们一般都避免打大角度的削球，理由是削球非常难打。这本质也是上面的简单数学。我们用图2展示削薄球时的情况。两个同心圆半径比为1比2，圆心O表示目标球的中心，外面的大圆自然表示白球的球心C可能到达的地方。假设我们想让目标球沿AO方向运动，也就是我们想把白球球心C推到A点。这里的难点就在于，我们需要非常精确地控制击球方向，因为角TCA的微小变化都会造成角TOA的巨大变化。定量上来讲，如果记角TOA为theta，角TCA为phi，那么在theta比较小时，phi大概正比于theta的平方，正如在a比较小时，1-cos a大概正比于sin a的平方。这一定量关系的一个后果是，为了让目标球进洞，我们对theta允许的误差转化到对phi允许的误差就非常小。

高手们都是尽量通过走位，使得白球，目标球和洞口接近直线，这时phi对theta近似线性变化，我们击球时对phi的误差要求也就比较宽松。