前段时间在科学网看到一则新闻：

8588米！亚洲陆上钻井最深纪录再度刷新

这引起了博主强烈的兴趣。

我父亲一辈子打水井。我读小学那段时间，他每天大概打2口水井，一般深度在40-50米。地下的情况有时是很复杂的，回到家后他也会给我们讲讲他遇到的各种意外和困难。有次，他带回来这样一个故事。

在他去打井的那个村子，之前有四川人来打过井，不过是用人工钻井。本来在我们那片，一般打到40米就会遇到水层，可是那天四川人放下了足足100米钻杆还没遇到水。最后，钻头从不远处的稻田里冒出来了！

对此，我父亲表示无法相信，但是周围有人作证此事不假。

父亲并不怀疑钻杆在地下会拐弯。让钻杆拐弯是很容易的，地下有很多坚硬的石头，钻头碰到它们的一个斜面自然就偏转了。甚至即便没有石头，地下土壤分布的微小差异也会让钻头不断变向。所以，打出一条弯曲的孔道才是正常的，完全笔直的孔道反而很难做到。在上面打井的人只知道自己放了多长的钻杆，至于钻杆走出了什么样的轨迹却一无所知。有这点经验的人就很容易理解微分几何里对曲线做参数化时，曲线长度是最自然的变量。

父亲只是感觉100多米不足以让钻头偏到地面上来。

确实，每根钻杆长3米，假设前后两根钻杆角度偏差2度（这个角度应该不小了），得180/2=90根钻杆才能构成一个半圆让钻头回到地面，这样总长度为270米。一般的钻井队根本没有那么多钻杆。在一个井深一般不超过60米的地区打井，带上100米钻杆足够了。

不管怎样，这个故事给博主留下了深刻印象。

几年前，科学网网友苏德辰在一篇非常精彩的博文里介绍了前苏联的Kola超深井

曾经的辉煌——前苏联科拉超深钻井

这井深达12000米！据说其深度保持了20年的世界纪录，直到2008年才被卡塔尔的一口石油钻井打破。

博主最关心的问题是，这么深的一口井有多直？钻头会不会走出一条高度弯曲的轨迹，以至于实际到达的深度远不足12000米？而上面的人还不知道？

经一番搜索，博主找到了一篇相关文献，里面给出的轨迹示意图如下：

很不错，12000米深的井，总体是直的，水平只偏差840米！

博主曾试图建立一个简单的模型来模拟一个深井的轨迹。以Kola深井为例，假设每根钻杆长10米，前后两根钻杆的取向关联度较高，二者取向的偏差符合正态分布，标准差为0.1度。写个简单程序，得到的50个轨迹如下图所示

典型的水平偏差确实在800米的量级上。

按照这个模型，大概需要打3000千米深，才会出现钻头从地表钻出的情况：

这是一个关联随机行走问题，定义是简单的，不知道是否存在解析解。

就这个模型而言，如果相邻两根钻杆之间的角度能够控制得足够小（材料强度足够大），顺利打通地壳是没有问题的。

不过，据上面的新闻里讲“在8000米深的定向井中，钻具“软得像面条”，钻井存在工具造斜能力差、摩阻扭矩大、井眼轨迹控制难度大等特点”，也许真实系统中的情况远比这里的理想模型复杂。

注1：在地壳上打定向深井难，在学术上打定向深井同样难。经常发生的情况是，遇到困难后，就避难就易换方向了，换来换去，就成了在高维学术空间里作随机行走，走了很久却无论在哪个维度上都离零点不远。这实是博主的切身体会切肤之痛。