朝鲜的金正恩最近很郁闷。

他想发展经济发展民生，希望能够跟美国和解，但是这符合你自身利益，不符合美国利益啊。你朝鲜不对韩国和日本构成威胁了，那我美国还怎么让这两个家伙交保护费呢？只要你朝鲜的核武器没法投送到我美国的土地上，你吓唬的是日本和韩国，外加一个中国，可不是我美国啊。在过去几十年里，你朝鲜可是我美国的好帮手，而不是我美国的威胁。你不想发展核武器，我也得逼你发展核武器。

这不，美国总统trump先是故作姿态，在推特上表示乐意与金正恩会面，然后就提出朝鲜无法接受的条件，逼金正恩主动退却，让世人觉得是金正恩没有诚意。

金主席啊，不要对美国有任何幻想。跟美国这种流氓国家打交道，武力是唯一的语言。

要让trump跟你谈，你得有攻击他的纽约的本事，最好能够投送原子弹到纽约。

那么一个自然的问题是，要想把一颗弹头从平壤抛到纽约，至少得给它多大的初始速度，应该取多大角度抛射？

这是我给学生的一个作业。本来以为需要编程做数值积分，后来发现其实简单的平面几何就足够了。

下图是问题示意图，A为发射点平壤，B为目标纽约。红色曲线为弹道，即一个椭圆的一段。地心O为该椭圆的一个焦点。按照对称性，该椭圆的另外一个焦点在平分角AOB的射线上。椭圆轨道的能量由椭圆的长轴决定，最低速度对应最小的长轴。而长轴是椭圆上任意一点到两个焦点的距离和。特别的，我们可以考虑A点或者B点。于是，我们看到取图中F*为焦点的椭圆具有最低能量。由此，经简单的代数计算，我们可以算出从平壤到纽约，弹道导弹初始速度至少得是7.3445公里每秒，跟第一宇宙速度7.9公里差不远。

那么朝鲜是否有能力把导弹加速到以上速度呢？朝鲜是可以发生卫星的，也就是他们有能力把一个卫星加速到7.9公里每秒。不过，卫星质量比较小，而导弹的战斗部必须达到足够质量才有必要的杀伤力。按照火箭方程，火箭的燃料随着有效载荷的增加指数增加，所以不确定朝鲜是否有能力把一颗质量为500公斤的弹头快递到纽约。就目前的新闻来看，朝鲜还差那么点。

注1：我去过朝鲜，我不喜欢朝鲜，这里仅作学术讨论。