今天的物理系学生习惯于做正问题。比如给定一个系统，给定初始状态，求解系统的演化。月球在地球和太阳作用下的运动，就是这样一个问题。

但是，牛顿建立万有引力定律需要做的是一个反问题。

已经有了开普勒第一第二定律，再加上牛顿自己的第二定律，怎么反推出太阳与行星之间的作用力与距离的关系？

虽然牛顿在他二十多岁的时候就发明了流数术，但是当时这门技术发展还不完善，更未获得广泛接受，所以牛顿竭力采用传统的无疑义的欧氏几何证明他的理论。不过要说在“原理”中牛顿完全没有采用流数术，那也不对。流数术的思想几乎体现在任何一个命题中。

比如，在推导平方反比定律时，牛顿取时间间隔无穷小的思想就非常明显。在足够短时间里，行星的运动是一个伽利略抛体运动，其运动可以分解为一个匀速直线运动与一个初速为0的抛物线运动之和，抛物线运动的位移正比于加速度，也就是力，及时间的平方。而按照开普勒第二定律，时间与面积成正比。所以问题归结为计算位移与面积平方之比的极限。

具体计算中，牛顿展示了其高超的平面几何功底。博主为授课，课前认真研读了，以为懂了，结果面对黑板又重复不出来，出丑了。

下面是牛顿在推导中用的图

有趣的是，牛顿不仅仅做了这个力的中心在焦点的情况。他还做了力的中心在椭圆中心的情况。下面是他的图

在这一情况，牛顿得出的结论是，力是胡克力，并且各项同性。这在现在看来很好理解，粒子在x和y方向的运动独立，均为简谐运动，并且频率相同，自然轨道就为一个封闭的椭圆。

牛顿研究的这两种情况，恰恰是物理学中最重要的两种作用力形式。而这两种情形又是关联的。前苏联著名数学家Arnold在他的经典力学的数学方法一书里证明，这两个系统是对偶的，即一个系统的运动轨道在一个保形变换下变到另外一个系统的轨道。

通过运动特征反推力或者势的形式，这貌似是个经典的力学反问题。天才数学家Abel也有一件经典之作。

考虑一个下图所示的势，如果给定粒子能量E，给定势能曲线U，很容易计算粒子在阱里来回振动的周期T。这个正问题很简单。但是，反过来呢？如果已知周期T作为能量E的函数，比如说T与E无关，那么如何反推出势阱的形状？

Abel以其天才给了一个漂亮解法！他给了一个简单干净的积分表达式。这个工作甚至让傲慢的朗道也钦佩不已，后者在其mechanics教材第12节里专门讨论了这个问题及Abel的解，虽然它与全书主旨关系并不大。

类似的反问题还有很多。比如，下面这幅图里的曲线，实际上是四个指数函数之和，如何确定这点并将每个指数函数分离出来？这个问题在量子力学的bethe ansatz里会遇到。此外，据说分析核磁共振信号时，也会有类似问题。

注1： 现代的推导平方反比定律的讲义在此， inverse_square.pdf

注2： 我国物理学家陈难先院士在反问题上也有杰出工作，可惜博主完全不懂，在此不能介绍，是为憾。