Frobenius代数

左芬

今天兴致很高，来聊聊最近读范畴式量子力学和量子计算的新发现：Frobenius代数，也就是满足下图关系的代数（/余代数）：

对于弦论学家们来说，也许这是显然成立的，但其实并不那么显然……

当看到这熟悉的代数结构出现的时候，俺还是蛮惊喜的。说是熟悉，因为到此为止俺已经见过她们四次了！分别是：两维拓扑场论，两维有理共形场论，任意子凝聚，以及这次的范畴式量子力学。

Frobenius代数在这些方向中都起着至关重要的作用，一两句话是说不清楚的。但我想强调其中一点，就是都出现了交换和不交换（但“对称”）的Frobenius代数，而前者往往是后者的“中心”。不过在不同领域它们代表着不同的含义：

在两维拓扑中，交换Frobenius代数表征圆圈（闭弦态），对称Frobenius代数表征线段（开弦态）；

两维有理共形场论中，交换Frobenius代数表征内部场（闭弦态），对称Frobenius代数表征边界场（开弦态）；

任意子凝聚中，交换Frobenius代数表征凝聚后的体真空，对称Frobenius代数表征边界真空；

范畴式量子力学中，交换Frobenius代数表征经典态，对称Frobenius代数表征量子态。

在前三种情形中，前者都是作为后者的中心出现；在最后一种情形中，这一关系似乎不那么明显，也许我还要再好好读读Bob Coecke的书。