圆桌会谈：对话爱德华•威滕（四）

爱德华·威滕 普林斯顿高等研究院自然科学学院教授

大栗博司 卡弗里数物连携宇宙研究所首席研究员

户田行信 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授

山崎雅人 卡弗里数物连携宇宙研究所助理教授

懂得何者为真与懂得其为何为真的差异

户田：我是一名代数几何学家。我最初研究代数几何的一些古典方向，但我逐渐迷上了你的工作所诱发的代数几何与弦论之间的一些关系。你聊到了S-对偶与模形式。从数学的角度来看这很让人惊讶——我看不出来模性为何会出现。关于这一点，你能不能给一个数学角度的见解？

威滕：瓦法和我当然是有理由的，这就是蒙托宁-奥利弗对偶猜想。我们所做的就是说明欧拉示性数的某种生成函数的模性是蒙托宁-奥利弗对偶的某种推论。这有点类似于说数论中的某个论断可由黎曼猜想推导出来。如果有人阐明某一论断是黎曼猜想的推论，你不一定能将这作为该论断的解释，但至少把它放在了一个更广阔的框架之中。在我和瓦法的工作中蒙托宁-奥利弗对偶提供了类似的更广阔的框架，而之后很快又出现了一个更为辽阔的框架，那就是蒙托宁-奥利弗对偶可由某种六维理论的存在性推导出来。它也可以通过各种其他方式从弦论对偶得出来，而且我已经提到这些构造中的一些。但大多数物理学家可能会说对于蒙托宁-奥利弗对偶我们所拥有的最完整的架构是它与这一六维理论的关系。

大栗：行信寻求的是某种数学解释。在那个时候，中岛关于瞬子模空间对称性的工作给出了数学解释的一些迹象。从数学角度来看，瓦法-威滕理论所计算的是瞬子模空间上欧拉示性数的生成函数。

威滕：中岛的仿射李代数的发现是某种证明，而且确实是一个奇迹般的发现。但它仍然让人感到疑惑，仿射李代数的对称性究竟从何而来。

户田：对。在计算出欧拉示性数之后，我们知道它是一个模形式，但我们不清楚它为何具有模性，哪怕是最简单的例子。

威滕：我完全同意。你所说的正是我试图在我的京都奖纪念讲座中表达的一些东西。在懂得何者为真与懂得其为何为真之间存在着差异。在这个例子中，你已经有了一个数学证明，但你仍然在问为什么，而物理学家根本不知道。我们所能做的仅仅是提供一些更大的猜想，在那里面这一结果会体现出来。但我们并不真正理解这些更大的猜想。

大栗：从物理学家的视角来看，这一对偶性已经被几何化为六维中的对称性。

户田：S-对偶与这一六维理论之间的关系不难理解吧？

大栗：关系是很明显的，但接着你就得让这一六维理论本身有意义。

威滕：我们对这一六维理论的性质实际上已经懂得相当多了，尽管还不太清楚如何去构建它或是从微观上理解它。

   关于这一六维理论性质的最深刻的发现之一是由马尔达西那在1997年做出的。他说明该理论在大N情形下可以用超引力来求解。不幸的是，理论能用超引力求解的情形并不同于为了理解你提出的问题我们通常必须研究的情形。

大栗：我明白，大N极限并不是S-对偶下不变的。

威滕：对，正是如此。

马尔达西那对该理论的解在大N时可行，并且完全合理。可它并不能直接帮助我们理解蒙托宁-奥利弗对偶，因为它涉及的是在一个不同的参数区域研究这一理论，而这一区域在S-对偶下并非不变的。换句话说，如果你试图应用马尔达西那的解来理解蒙托宁-奥利弗对偶，你还必须研究另一个参数区域，而马尔达西那给出的描述在那里毫无用处。

但马尔达西那解的存在和成功确实增加了物理学家们的信心，使他们相信这一六维理论是存在的，并且所有关于它的典型表述都是对的，哪怕我们还没有弄清全部。这有点像数学家们发现黎曼猜想的一些新推论是对的。这增加了人们对黎曼猜想的信心，但并不意味着人们理解了黎曼猜想。

大栗：行信，你对物理学当前的一些热点是如何看待的？例如，昨天中岛说他花了18年才理解威滕在剑桥的讲座中究竟做了些什么，而深谷贤治也说有时候他甚至不理解物理学家们的论断，因为你不明白他们写下的方程的左边和右边意味着什么。你已经在卡弗里数物连携宇宙研究所好几年了，跟物理学家们有所互动，那么你能提供什么观点么……？

户田：当然可以。我完全不懂弦理论，但有时我在读文章和一些计算时，会尝试把物理术语翻译成数学的，比如把D-膜译成层，或是把BPS态译成稳定对象。然后我就会有很多物理方面的东西需要去学，有很多问题需要解决，哪怕我并不理解它们的物理根源。我还发现它们跟代数几何中的一些经典问题是相关的。

大栗：你也参加弦论的研讨会。通过参与这些研讨会并且与物理学家互动，你获得了什么？

户田：我认为在弦理论中有许多种人。有些人的工作跟我很接近，像唐纳森-托马斯不变量和凝聚层的导出范畴。在他们的报告中，我能学到一些东西，但这已经差不多是一个数学报告了。

大栗：有一个数学家告诉我说物理学家就好像猜想的生成函数。对于数学家来说，有一些物理学家比其他人更有用。比如，中岛启跟我说他尤其钟爱爱德华的讲座，因为哪怕他并不理解其中的动机以及想法的来源，爱德华所做的一些论断对他们来说具有鲜明的数学意义，就好比立川昨天在研讨会上所引述的那个方程，而这些正是数学家们可以加以研究的。

山崎：但接着有些人会想要弄清这背后的逻辑。我可以做出一个在数学上有意义的论断，而数学家可以尝试去证明它。但他们肯定想要弄清到底发生了什么。

威滕：在任何情形下，我都无法担保说简洁的答案并不存在。但对于我们正在讨论的许多问题，大多数物理学家的观点一定会是，这些问题的最好设定就是在对于物理学而言举足轻重的量子场论中。