Atiyah 与 Witten

左  芬

2019年1月12日，13日

（按：Michael Atiyah 于2019年1月11日去世。本文是在得知这一消息后仓促写就的，主要是想强调数学家与物理学家之间的互相影响，内容稍微有些技术化。今年九月初Atiyah 的学生和合作者 Nigel Hitchin 写了一篇纪念 Atiyah的长文，非常详尽地刻画了Atiyah一生的工作和生活。我之前曾经选译过几小段，等时间充裕的时候争取把全文译出来。） 

Atiyah 与 Witten 的关系是令人羡慕的：

1. 早年对纽结的研究需要把她们铺到平面上，再去分类和计算。Atiyah 说，应该有一个天然的三维描述； Witten 想了很久，终于想出可以用三维 Chern-Simons 理论中的 Wilson 圈去计算；Atiyah 接着把这一类理论公理化为拓扑量子场论；Witten 近年更将此推广为某类四维超对称规范理论对纽结“演化”（Khovanov同调）的刻画。

2. Atiyah 很早就发现数学中的 Langlands 对偶群（Langlands，1967）与物理中超对称规范理论的电磁对偶群（Goddard-Nuyts-Olive 1977; Montonen-Olive 1977）相同，进而猜测几何 Langlands 对偶在物理上表现为某种规范理论的电磁对偶 ；Witten 最初表示怀疑，但近30年后，却反而将该猜测部分地实现了。

3. 更有趣的是，Witten 在 Khovanov 同调 和几何 Langlands 对偶两方面的工作用到了许多相同的元素。这一点，我想即使是想象力丰富的 Atiyah，也是始料未及的。

最后补充一点 Atiyah 在 Donaldson 到 Seiberg-Witten 理论转变过程中所起到的推波助澜的作用：

首先对电磁对偶再多说一句：Langlands 群（或GNO群）着重的是电荷与磁荷（表示）的互换；电磁对偶还有一个侧面是强弱耦合强度的互换，这由 Seiberg-Witten 1994 年在一类超对称规范理论中严格实现；特别地，当电表述是强耦合的，磁表述是弱耦合的，并且在低能下可能出现规范对称性自发破缺：非Abel的规范理论破缺为Abel理论。

1982年，在 Bott 的影响下，Witten 将数学中的同调不变量用超对称量子力学重新表述，并猜测对于任意的（超对称）量子理论，都可构建相应的拓扑理论。同年，Atiyah 的学生 Donaldson 利用 Yang-Mills 理论的瞬子解得到四维流形的新不变量；特别地，区分了拓扑流形与光滑流形。1987年，Atiyah 在二者基础上提出，应该存在一个四维超对称量子场论，其观测量直接给出 Donaldson 不变量。1988年，Witten 构建出该理论，其中用到他著名的对超对称算子的拓扑扭转（topological twist）操作。1994年，利用强弱对偶后的 Seiberg-Witten 表述，Witten 指出可以将 Donaldson 非 Abel 的瞬子方程简化为 Abel 的 Seiberg-Witten 方程：三周之内，Donaldson 理论全面变形为 Seiberg-Witten 理论。

我们事实上已经提到纽结／Khovanov同调与几何Langlands对偶，以及几何 Langlands对偶与 Seiberg-Witten 理论之间的微妙关系。最后我们指出纽结/Khovanov 同调与 Donaldson 理论也是有所关联的。这一点，在纽结的情形就有所启示：Chern-Simons-Witten 理论对纽结的描述一直有一个漏洞，不能直接说明相应的不变量为什么是多项式（例如 Jones 多项式）。Witten 近年澄清了这一点：一个纽结可以通过不同的4维瞬子构型过渡到真空，而多项式的各个幂次项分别计数了瞬子数为该幂次时的解的贡献。～～